清单06 反比例函数（6大考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

清单06 反比例函数（6大考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【例1】下列选项中的函数，关于成反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式】已知函数是反比例函数，则的值为__________． 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【例2】已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=5时，求y的值． 【变式】已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）； （1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值． 知识点三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【例3】关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象经过点（﹣6，﹣2） D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【变式1】在双曲线的任一分支上，都随的增大而增大，则下列说法错误的是（　　） A．的值有可能为 B．图象位于第二、四象限 C．若图象过点，也必过点 D．图象与轴只有一个交点 【变式2】若点是反比例函数图象上一点，则下列说法正确的是（ ） A．图象位于二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．点在函数图象上 D．当时， 【变式3】已知与y=x-3相交于点，则的值为__________． 【变式4】一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A．B．C． D． 知识点四、反比例函数()中的比例系数的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=