5.5 用二次函数解决问题（第2课时)（课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第5章 二次函数 5.5　用二次函数解决问题（2） 第2课时 利用二次函数解决抛物线形问题 1 学习目标 1.通过对抛物线形的有关问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形的有关实际问题； 2.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 情境引入 日常生活中常见的抛物线形建筑物. 抛物线形大门 抛物线形隧道 抛物线形大桥 将水喷射向空中，水滴的运动轨迹呈抛物线状. 情境引入 部分体育运动项目中，物体运动的路径也是抛物线. 你能想出办法来吗？ 1.如何把这个实际问题转化为数学问题？ 问题3 河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？(精确到0.1m) 把抛物线形的桥拱看作一个二次函数的图像. 讨论与交流 2.怎样确定二次函数的表达式? 建立恰当的平面直角坐标系. 如何建立直角坐标系比较简单呢？ 讨论与交流 x O y x O y 如何建立直角坐标系比较简单呢？ 讨论与交流 x O y x O y 讨论与交流 解:如图, 以桥拱的最高点为原点, 过原点的水平线为横轴, 过原点的铅垂线为纵轴, 建立平面直角坐标系． ∵当水面宽AB=6m时，水面离桥拱顶部3m，∴点A的坐标是(3, -3). 设抛物线形的桥拱是二次函数y=ax²的图像. 把(3, -3)代入y=ax²得-3=a×3², 解得a=. 把y=-2代入y=x²得-2=x², 解得x=. C D ∴点C、D的坐标是(, -2)、(-, -2). CD=2≈4.9. 答：水位上升1m，此时水面宽越为4.9m. 问题3 河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？(精确到0.1m) 1 2 3 x O -1 y -2 -3 A B 如果建立的坐标系不同，对应的二次函数表达式相同吗？请你试一试. 讨论与交流 问题3 河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？(精确到0.1m) 1 2 3 x O 3 y 2 1 你有什么发现？ 拓展与延伸 思考：根据问题3给出的条件，一艘装满物资的小船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m(横断面如图). 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 0.5m 4m x O y 解：∵小船露出水面部分的高为0.5m， ∴y=-1.5. 把y=-1.5代入y=x²得-1.5=x², 解得x=. ∴ )=. ∵＞4， ∴这艘船能从这座拱桥下通过. 归纳总结 1.具有抛物线形状的实际问题，常常根据物体的特征建立适当的平面直角坐标系，先把实际问题函数化，再根据对应条件确定函数表达式. 2.对于同一抛物线形状的物体，建立的平面直角坐标系不同，对应的二次函数表达式也不同，但它们的二次项系数相同. 例题讲解 例1 如图所示，一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线相应的函数表达式； 8m 2m 解:(1)设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋6. 由题意知E(0，6)，A(－4，2)． 将x＝－4，y＝2代入上式，得2＝(－4)2a＋6， 解得a＝－. ∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋6. 6m 例题讲解 例1 如图所示，一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为 2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(2)一辆货运卡车高4 m，宽2.4 m，它能通过该隧道吗？ 解：(2)当x＝2.4时， y＝－×2.42＋6＝4.56＞4. ∴高4 m，宽2.4 m的货运卡车能通过该隧道. 例题讲解 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ x O y A (1.5, 3.05) B (0, 3.5) C 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B(0，3.5). 以点C表示运动员投篮球的出手处. 设抛物线的表达式为y=ax2+3.5. 点A代入得a=－0.2， ∴该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25