精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第四次阶段考试数学试题

牡丹江二中2023—2024学年度第一学期高三第四次阶段性考试 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ） A 1 B. C. D. 2. 圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. -1 D. 1 4. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 7. 已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设集合，，若，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数第75百分位数为15.5 B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位 C. 数据的方差为，则数据的方差为 D. 一个容量为50样本方差，则这组样本数据的总和等于100 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则为的中点 B. 若为的中点，则三棱锥的体积为 C. 平面与平面的夹角为 D. 若，则直线与平面所成角的正弦值为 12. 已知函数和有相同的极大值，若存在，使得成立，则（ ） A. B. C. 当时， D. 若的根记为，，的根记为，，且，则 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若向量和平行，则实数的值为___________. 14. 已知实数且，则的最小值为______. 15. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，且，使得数列为等比数列，则的最小值为__________. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知，，且，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+2ccosA＝0. （1）若b＝c＝1，求a和S△ABC； （2）求cosB最小值. 19. 如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F． （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离； 20. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，数列的前项和为，证明：. 21. 为了检测某种抗病毒疫苗免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只. 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概