3.3.1 抛物线及其标准方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1 抛物线及其标准方程 考点一 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 离心率 e＝1 准线 方程 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 通径长 2p 重难点题型突破1 抛物线的定义及应用 例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． （2）、（2023下·湖南岳阳·高二校考期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． （3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______． 【变式训练1-1】、（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023上·江苏常州·高二统考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练1-3】、（2023上·浙江台州·高二台州一中校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程为 . 重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质 例2．（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______． （2）．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2023上·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 【变式训练2-2】、（2023上·陕西·高二校联考期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．7 重难点题型突破3 求抛物线的标准方程 例3、（1）、（2023上·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【变式训练3-1】．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】．（2023·全国·高三专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 重难点题型突破4 直线与抛物线位置关系 例4．（2023上·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：． 【变式训练4-1】、（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点.    (1)如图1所示，已知，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段与线段的交点为，求直线斜率的取值范围. 重难点题型突破5 冲刺满分 例5、15．（2023·湖北·统考二模）在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田中，为中点，为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为，则（    ）（若直线与抛物线相切于点，平行于的直线与交于两点，记与围成的图形面积为的面积为，则） A． B． C． D． 【变式训练5-1】、（2022上·山东济南·高二统考期末）抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇