第3章 3 垂径定理-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第三章　圆 4 第3节 3 　垂径定理 教材链接 5 学习目标 考频 难易度 1.探索并证明垂径定理，提高推理能力. ⁠ ⁠ ⁠ ⁠⁠ ⁠⁠ ⁠ 2.知道垂径定理及其推论，并能运用垂径定理进行有 关计算与证明. ⁠ ⁠ ⁠ ⁠⁠ ⁠⁠ ⁠ 3.会运用垂径定理解决相关的实际问题. ⁠ ⁠ ⁠ ⁠⁠ ⁠⁠ ⁠ 01 02 03 04 新知区　教材全解读 方法区　题型全梳理 中考区　考向早知道 巩固区　课后综合练 教材划重点 题型划重点 中考划重点 新知区 返回目录 新知区　教材全解读 知识点 1 垂径定理⁠ ⁠ 定理 语言描述 图示 垂直于弦的直径平分这条 弦，并且平分弦所对的弧 ① ∵直径CD⊥AB， ∴AM＝BM，＝， ＝ ⁠ ⁠ 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 重点君伴你学 ①敲敲黑板抬抬头 （1）定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，还 可以是过圆心的直线或线段. （2）条件中的“弦”也可以是直径，结论中的“平分弦所对的弧” 既包括平分弦所对的劣弧，也包括平分弦所对的优弧. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 典例1 [2023北京丰台区期末]如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于点C，若 AB＝8，OC＝3，则☉O的半径的长为⁠ ⁠. 5 解析：如图，连接OA.∵OC⊥AB于点C， ∴AC＝AB＝×8＝4.又∵OC＝3， ∴在Rt△OAC中，OA＝＝＝5. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 知识点 2 垂径定理的推论⁠ ⁠ 1.垂径定理的推论 推论 语言描述 图示 平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦 所对的弧 ② ∵直径CD与弦AB交于点M， AM＝BM，∴CD⊥AB，＝ ，＝ ③ ⁠ ⁠ 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 重点君伴你学 ②小心踩坑 被平分的弦不是直径.当被平分的弦是直径时，两直径互相平分，但不 一定互相垂直. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 ③知识拓展一下 垂径定理及其推论的拓展 如果一条直线具备下列五个条件中的任意两个，那么它一定具备其他 三个条件：①经过圆心；②垂直于弦（非直径）；③平分弦（非直 径）；④平分弦（非直径）所对的劣弧；⑤平分弦（非直径）所对的 优弧.简记为“知二推三”. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 ⁠ ⁠知识拓展 垂径定理的其他推论 文字叙述 数学语言 图示 弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧 ⇒ ⁠ ⁠ 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 文字叙述 数学语言 图示 平分弦所对的一条弧 的直径垂直平分这条 弦，并且平分弦所对 的另一条弧 ⇒ ⁠ ⁠ 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 2.垂径定理及其推论的用法 如图，圆的半径r、弦心距d、弦长a三者的关系是r2＝d2＋，可求 出r＝，d＝，a＝2. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 典例2 [2023北京西城区期末]如图，AB是☉O的一条弦，点C是AB的中 点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB.若AB＝4，CD＝ 1，求△BOD的面积. ④ 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 解：∵点C是AB的中点，且OD为☉O的半径，∴OD⊥AB，BC＝AB＝ ×4＝2. 设☉O的半径为r，则在Rt△OBC中，OB＝r，OC＝r－1.由勾股定理， 得BC2＋OC2＝OB2，即22＋（r－1）2＝r2，解得r＝，∴OD＝ .∴S△BOD＝OD·BC＝××2＝. 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 重点君伴你学 ④教你一招 运用垂径定理常作的辅助线 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 作半径 过圆心作弦的垂线 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 连接圆心和 弦的中点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 连接圆心和 弧的中点 知识点1 知识点2 新知区 返回目录 教材划重点—— 知识整合提升 教材划重点 返回目录 ⁠