第1章 专题一 解直角三角形在实际应用中的常见模型-【教材划重点】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级下 BS 1 2 3 第一章　直角三角形的边角关系 4 专题一　解直角三角形在实际应用中的常见模型 5 专题描述：运用解直角三角形的方法解决实际问题，常见的模型有四 种：异侧型、同侧型、斜截型和交叉型.这四种类型在仰角俯角问题、 方位角问题、坡角问题中均有可能出现，解直角三角形的实际应用问 题通过抽象构造数学模型，大多可归为这四类模型. 类型一 异侧型 解题方法：此类型的基本特点是两个直角三角形“背靠背”.如图（1），这样的两个三角形是并列的，有公共的直角顶点及一条公共的直角边，这条公共的直角边就是沟通两个直角三角形的媒介，一般利用线段的和来寻找等量关系.此类型的特殊情况是隔一段距离的“背靠背”，如图（2），区别只是中间多了一段固定长度的线段. 　　 图（1） 图（2） 典例1 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组 为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1∶2，在B处测 得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.（参考数据： ≈1.41，≈1.73，≈2.24.结果精确到0.1米） 　　 思路引导： 解：如图，过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N. 易得四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA. ∵斜坡AB＝105米，坡度i＝＝， ∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB＝＝＝x＝105， ∴x＝21，∴AN＝BM＝21米，BN＝AM＝42米.在Rt△BCN中，∠CBN＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝42米，∴AC＝AN＋CN＝21＋42＝63≈141.1（米）. 答：观光电梯AC的高度约为141.1米. 重点君教你解难题 ⁠ ⁠ 练1－1 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3 m，坝高AE＝DF＝6 m， 坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长. 【解】∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.又∵AE＝DF，∴四边形 AEFD是矩形，∴AD＝EF＝3 m .∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝ 6 m，CF＝＝6 m，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6＝（9＋ 6）m. 答：BC的长为（9＋6）m. ⁠ ⁠ 练1－2 [2023安徽合肥庐阳区质检]如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午 9：00一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30°方向航行，上午11：00抵 达B点，然后向南偏东75°方向航行，一段时间后，抵达位于港口A的北 偏东60°方向上的C处，船在航行中的速度均为30海里/时，求此时船距 海岸线的距离. 【解】如图，过B作BE⊥AC于E，作CF⊥MN于F.∵∠GAB＝30°， ∠GAC＝60°，∴∠BAE＝30°. 在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝30×2＝60（海里），∠BAE＝30°，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝30海里，AE＝BE＝30海里. 在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∠EBC＝75°－（60°－30°）＝45°， ∴CE＝BE＝30海里.∴AC＝AE＋CE＝（30＋30）海里.∵∠CAF＝ 90°－∠GAC＝30°，∴CF＝AC＝（15＋15）海里. 答：此时船距海岸线的距离为（15＋15）海里. 类型二 同侧型 解题方法：此类型的特点是两个直角三角形“大含小”.小的三角形在 大的三角形内部，有公共的直角顶点及一条公共的直角边，通过这条 公共的直角边沟通两个直角三角形，与异侧型不同的是同侧型一般利 用线段的差来寻找等量关系. 典例2 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修 建一座步行观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80 m，坡面AB 的坡度i＝1∶0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）， 点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的 俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°. （1）求山脚A到河岸E的距离； 解：（1）在Rt△ABC中，BC＝80，坡面AB的坡度i＝1∶0.7， ∴＝，∴＝，∴AC＝56.在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝ ∠DBE＝45°，∴∠CBE＝90°－∠BEC＝90°－45°＝45°，∴∠BEC＝ ∠CBE，∴CE＝BC＝80，∴AE＝CE－AC＝80－56＝24（m）. 答：山脚A到河岸E的距离为24 m. （2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1 m） （参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60） 思路引导： 解：（2）在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝ ，∴≈0.60，∴C