寒假作业(一) 空间向量及其运算-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(一) 空间向量及其运算 1.几类常见的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为 的向量 0 单位向量 模为 的向量 |a|= 或|AB→|= 相反向量 与向量a长度 且 方向 的向量 -a 共线 向量 如果表示若干空间向 量的有向线段所在的 直线 或 ,那么这些向量 叫做共线向量或 向量 a∥b 规定:零向量与任意 向量 0∥a 相等向量 方向 且模 的 向量 a=b或 AB→=CD→ 2.空间向量的线性运算满足的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)= (λμ)a; 分配律:(λ+μ)a= a+μa,λ(a+b)=λa +λb. 3.空间向量的数量积已知两个 向量 a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b的数 量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. 零向量与任意向量的数量积为 ,即 0·a= . 4.空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p,存在唯 一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)基底:如果三个向量a,b,c不共面,那么 所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+ yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量 a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一 个 ,a,b,c都叫做基向量. 5.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量运算 坐标表示 a+b a-b λa a·b a∥b a⊥b |a| a21+a22+a23 cos<a,b> a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23 b21+b22+b23 【典例】 直三棱柱 ABC-A' B'C'中,AC=BC=AA', ∠ACB=90°,D,E 分别为 AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE 与AC' 所成角的余弦值. 【分析】 先用基底{CA →,CB →,CC' →}表示向量 CE →、A'D →、AC' →,再证明垂直和求夹角. 【解】 设CA → =a,CB → =b,CC' → =c, 根据题意得|a|=|b|=|c|,a·b=b·c= c·a=0. (1)证明:易知CE → =b+12c ,A'D → =-c+12b -12a. ∴CE →·A'D → =-12c 2+12b 2=0. ∴CE → ⊥A'D →,即CE⊥A'D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 |假期作业(一)| (2)易知AC' → =-a+c,∴|AC' → |= 2|a|, 又CE → =b+12c ,∴|CE → |= 52|a| , ∵AC' →·CE → =(-a+c)· b+12c =12c2= 1 2|a| 2, cos<AC' →,CE →>= 1 2|a| 2 2· 52|a| 2 = 1010 , 即 异 面 直 线 CE 与 AC'所 成 角 的 余 弦 值 为 10 10. 【名师点睛】 1.由于向量的夹角的取值范围 为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为 0,π2 ,因此利用向量数量积求异面直线所 成的角时,要注意角度之间的关系.当<a,b> ∈ 0,π2 时,它们相等;而当<a,b>∈ π2,π 时, 它们互补. 2.利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值 的步骤 (1)用基底表示所求直线的方向向量a,b; (2)求方向向量夹角的余弦cos<a,b>; (3)定结果cosθ=|cos<a,b>|. 一、选择题 1.设三棱锥O-ABC 中,OA → =a,OB → =b,OC → = c,G是△ABC的重心,则OG → 等于 ( ) A.a+b-c B.a+b+c C.12 (a+b+c) D.13 (a+b+c) 2.(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体, 则下列结论中正确的是 ( ) A.(AA1 → +A1D1 → +A1B1 →)2=3A1B1