寒假作业(四) 坐标法、直线及其方程-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

11.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 2,PA =PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M 在棱BC上,且MC=2MB,求点C 到平面POM 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 寒假作业(四) 坐标法、直线及其方程 1.直线的方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点 斜 式 点P(x0,y0)和 斜率k 斜率存在 的直线 斜 截 式 斜 率 k 和 在 y 轴上的截距b 斜率存在 的直线 两 点 式 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其 中 x1 ≠x2, y1≠y2 y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 斜率存在 且不为0 截 距 式 在 x,y 轴 上 的 截距 分 别 为a, b,且ab≠0 x a + y b =1 2.直线的一般式方程:把关于x,y的二元一次 方程 (其中A,B 不同时为0)叫做 直线的一般式方程,简称一般式. 3.两点间的距离公式 (1)平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距 离公式|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP| = x2+y2. ②当 P1P2∥x 轴(y1=y2)时,|P1P2|= . ③当 P1P2∥y 轴(x1=x2)时,|P1P2|= . 4.点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线l:Ax +By+C=0(A,B 不同时为0)的距离d = |Ax0+By0+C| A2+B2 . 5.两条平行直线间的距离:两条平行直线l1: Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间 的距离d= |C1-C2| A2+B2 . 【典例】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和 l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x- 4y+5=0垂直的直线l的方程. 【分析】 思路一(直接法),解方程组得点P 的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜 率,然后按点斜式写出方程;思路二(待定系 数法),根据直线l与l3 垂直,设出直线l的 方程,再由点P 的坐标求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 |高中数学| 【解】 法一:(直接法) 解方程组 x-2y+4=0, x+y-2=0. 得P(0,2). 因为直线l3的斜率为 3 4 ,所以直线l的斜率 为-43. 所以直线l的方程为y=-43x+2 ,即4x+ 3y-6=0. 法二:(待定系数法) 设直线l的方程为4x+3y+m=0. 解方程组 x-2y+4=0, x+y-2=0. 得P(0,2). 因为直线l过直线l1与l2的交点P(0,2), 所以4×0+3×2+m=0, 解得m=-6. 所以直线l的方程为4x+3y-6=0. 【名师点睛】 (1)常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0,y0)的直线系A(x-x0)+B(y -y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0 =k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方 程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方 程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x +B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R), 但不包括l2. (2)应用直线系的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程 时,一定要注意系数及符号的变化规律. 一、选择题 1.若图中直线l1,l2,l3的斜率 分别为k1,k2,k3,则( ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 2.直线y=2x+1绕着其上一点(3,4),逆时针旋 转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为 ( ) A.y-4=2(x-3) B.y-4=12 (x-3) C.y-4=-12 (x-3) D.y-4=-2(x-3) 3.若直线l1:ax+2y+2=0与直线l2:x+(a- 1)y+1=0平行,则实数