寒假作业(十一) 条件概率与事件的独立性-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(十一) 条件概率与事件的独立性 1.条件概率的概念:一般地,设A,B 为两个随 机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生 的条件概率. 2.概率乘法公式:对任意两个事件A 与B,若 P(A)>0,则P(AB)= 为概率的乘 法公式. 3.条件概率的性质:设P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)= . (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C| A)= . (3)设B和B 互为对立事件,则P(B|A)= . 4.全概率公式:一般地,设A1,A2,…,An是一 组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω, 且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件 B⊆Ω,有P(B)= ,我们称该公 式为全概率公式. 5.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互 斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)> 0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B) >0,有P(Ai|B)= P(Ai)·P(B|Ai) P(B) ,i=1,2, …,n. 【典例】 现有编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三个口袋,其中Ⅰ号 袋内装有两个Ⅰ号球,一个2号球与一个3号 球;Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球;Ⅲ 号袋内装有三个1号球与两个2号球,现在先 从Ⅰ号袋内随机地取一个球,放入与球上号数相 同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计 算第二次取到几号球的概率最大,为什么? 【分析】 先记事件,求出相关事件的概率,再 代入全概率公式求解. 【解】 记事件Ai,Bi 分别表示第一、二次取 到i号球,i=1,2,3,依题意A1,A2,A3 两两 互不相容,其和为Ω,并且 P(A1)= 2 4 ,P(A2)=P(A3)= 1 4 , P(B1|A1)= 2 4 ,P(B1|A2)= 2 4 ,P(B1|A3) =36 , P(B2|A1)= 1 4 ,P(B2|A2)= 1 4 ,P(B2|A3) =26 , P(B3|A1)= 1 4 ,P(B3|A2)= 1 4 ,P(B3|A3) =16. 应用全概率公式,有 P(B1)=Σ 3 i=1 P(Ai)P(Bi|Ai)= 2 4× 2 4+ 1 4× 2 4+ 1 4× 3 6= 1 2. 类似可以求出P(B2)= 13 48 ,P(B3)= 11 48. 计算可知,第二次取得1号球的概率最大. 【名师点睛】 应用全概率公式的关键是寻找 与该事件相关的完备事件组.当事件的发生 与相继两个试验有关,第一次试验的各种结 果直接对第二次试验产生影响,因此从第一 次试验入手,找出完备事件组.当事件的发生 是由诸多两两互不相容的原因 A1,A2,…, An,…引起的,且只能在原因A1,A2,…,An, …下发生,那么这些原因就是一个完备事件 组.在选择完备事件组的时候,一定要把产生 结果的原因全找出来,不能遗漏,并且保证 A1,A2,…,An,…为两两互不相容事件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 |假期作业(十一)| 全概率公式为复杂事件的概率计算提供 了一条有效途径,是概率论中一个有效的分析 工具,其重要意义在于:对于一个复杂的事件 B,若无法直接求出它的概率P(B),则可以“化 整为零”,通过选择样本空间的划分将复杂事件 B分解为若干个简单事件来进行处理,从而使 分析问题的思路变得清晰条理,计算化繁就简, 化难为易. 一、选择题 1.10个考签中有4个难签,3个同学参加抽签 (不放回),甲先抽,乙再抽,丙最后抽,则甲、 乙、丙都抽到难签的概率为 ( ) A.130 B. 1 20 C.215 D. 1 12 2.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别 为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的 概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地 的概率为 ( ) A.0.72 B.0.96 C.0.86 D.0.84 3.已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中 有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中 取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取 出一球,则两次都取到红球的概率是 ( ) A.1127 B. 11 24 C