寒假作业(十三) 统计模型-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(十三) 统计模型 1.正相关与负相关:如果由变量的成对数据、 图或直观经验可知,变量x与变量 y 之间的关系可以近似地用 函数来 刻画,则称x与y 相关.此时,如果 一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则 称这两个变量 相关;如果一个变量 增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变 量 相关. 2.回归直线方程:̂y=̂bx+̂a b̂= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = , â= . 其中,̂b称为回归系数.它实际上也就是回归 直线方程的斜率.回归直线方程确定之后,就 可用于预测. 其中,x=1n (x1+x2+…+xn)= 1 n∑ n i=1 xi;y= 1 n∑ n i=1 yi. 3.相关系数 r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 = ∑ n i=1 xiyi-nx y ∑ni=1x2i-nx2 ∑ n i=1 y2i-ny2 来衡量y与x 的线性相关性 ,这里 的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 可以证明,相关系数r具有以下性质; (1)|r|≤1,且y 与x 正相关的充要条件是 ,y与x 负相关的充要条件是 ; (2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关 性越 ,也就是得出的回归直线方程 越没有价值,即方程越不能反映真实的情况; |r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越 ,也就是得出的回归直线方程越有 价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点 都在 上. 4.非线性回归:非线性回归方程的曲线类型可以 通过作出 图作出猜测,而回归方程有 时可以通过 后,借助求回归直线的过 程确定. 5.独立性检验 (1)定义:利用χ2的取值推断分类变量 X 和 Y 的方法称为χ2独立性检验,读作 “卡方独立性检验”.简称独立性检验. (2)χ2= ,其中n=a+b+c+d. 【典例】 某大型水果超市,为了对香蕉进行合 理定价,对近5天的销售量yi 和销售单价xi =(i=1,2,3,4,5)进行了统计分析,得到一 组统计数据如表所示: 销售单价x(元/千克)5.56.57.58.59.5 销售量y(千克) 150135110 95 75 参考公式:线性回归方程:̂y=̂bx+̂a,其中b̂ = ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a=y- b̂x,相关系数r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 . (1)根据表中所给数据,用相关系数r加以判 断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关 系? 若可以,求出y关于x 之间的线性回归 方程;若不可以,请说明理由(0.75≤ r ≤1, 则认为y与x 线性相关性很强); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 |假期作业(十三)| (2)为调查对香蕉的喜欢程度,随机调查了 100名顾客(青少年和中老年各50人),得到 如下2×2列联表: 喜欢香蕉 不喜欢香蕉 总计 青少年 35 15 50 中老年 10 40 50 总计 45 55 100 能否有99.9%的把握认为顾客是否喜欢香 蕉与年龄有关? (3)现采用分层抽样的方法从中老年样本中 随机抽取10人,再从这10人中随机抽取2 名进行跟踪调查,记 X 表示这两人中“喜欢 香蕉”的人数,求X 的分布列、数学期望. 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,n=a+ b+c+d. 参考数据:∑ 5 i=1 x2i=291.25,∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y)= -190,∑ 5 i=1 (xi-x)2 ∑ 5 i=1 (yi-y)2 =36 300, 36300≈190.53. α 0.050 0.010 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 【解】 (1)相关系