寒假作业(十二) 随机变量-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

三、解答题 10.已知在10只晶体管中有2只次品,在其中 取两次,每次取一只作不放回抽样.求下列 事件的概率: (1)两只都是正品; (2)两只都是次品; (3)正品、次品各一只; (4)第二次取出的是次品. 11.某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而 他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通 电话的概率.若已知最后一位数字是奇数, 那么此概率又是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 寒假作业(十二) 随机变量 1.离散型随机变量的分布列及其性质 (1)定义:一般地,设离散型随机变量X 的可 能取值为x1,x2,…,xn,我们称X 取每一个 值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n 为X 的概率分布列,简称分布列. (2)分布列的性质 ①pi≥ ,i=1,2,…,n. ②p1+p2+…+pn= . 2.二项分布 (1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试 验中事件A 发生的概率为p(0<p<1),用 X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为 P(X=k)= ,k=0,1,2,…,n. 称随机 变 量 X 服 从 二 项 分 布,记 作 . (2)二项分布的均值与方差 若X~B(n,p),则E(X)= ,D(X) = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 |假期作业(十二)| 3.超几何分布 (1)定义:一般地,假设一批产品共有 N 件, 其中有 M 件次品,从N 件产品中随机抽取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的 次品数,则X 的分布列为 P(X=k)= ,k=m,m+1,m+ 2,…,r. 其中 n,N,M∈N*,M ≤N,n≤N,m= max{0,n-N+M},r=min{n,M}. 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式, 那么称随机变量 X 服从超几何分布.记作: X~H(N,n,M). (2)均值:E(X)= . 4.随机变量的均值的概念 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn = ∑ n i=1 xipi为随机变量X 的均值或数学期望. 5.离散型随机变量的方差、标准差 (1)设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X 所有可能取值xi与E(X)的偏差的 平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn- E(X))2,关于取值概率的加权平均,来度量 随机变量 X 取值与其均值E(X)的偏离程 度.我们称 D(X)= = ∑ n i=1 [xi-E(X)]2pi为 随 机 变 量 X 的 方 差 (variance),有时也记为Var(X),并称 为随机变量X 的标准差. (2)离散型随机变量方差的性质 设a,b为常数,则D(aX+b)= , D(c)=0(其中c为常数). 6.正态曲线的特点 (1)对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的 . (2)曲线与x轴之间的面积为 . (3)曲线是单峰的,它关于直线 对称. (4)曲线在 处达到峰值 1 σ 2π . (5)当|x|无限增大时,曲线无限接近 轴. (6)当 一定时,曲线的位置由μ确 定,曲线随着 的变化而沿x轴平移, 如图①. (7)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小 时曲线“瘦高”,表示随机变量X 的分布比较 集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量 X 的分布比较分散,如图②. 【典例】 随机抽取某厂的某种产品200件,经 质检,其中有一等品126件、二等品50件、三 等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、 三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1 万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的 利润(单位:万元)为X. (1)求X 的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X 的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但 次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此 时要求1件产品的平均利润不小于4.73万 元,则三等品率最多是多少? 【解】 (1)