寒假作业(十) 二项式定理与杨辉三角-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(十) 二项式定理与杨辉三角 1.二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(a+b)n=C1nan+C0nan-1b+ C2nan-2b2+…+Cknan-kbk +…+ Cnnbn(n∈N*)称为二项式定理 (a+b)n的 展开式 C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+ Cknan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*) 二项式 系数 Ckn(k=0,1,2,…,n)称为第k+1项 的二项式系数 二项展开 式的通项 公式 Cknan-kbk是展开式中的第 项, 可记作Tk+1=Cknan-kbk(其中0≤k ≤n,k∈N,n∈N*) 备注 在二项式定理中,如果令a=1,b=x, 是得到公式(1+x)n=1+C1nx+C2nx2 +…+Cknxk+…+Cnnxn(n∈N*) 2.二项式系数的性质 (1)从函数的观点分析二项式系数 对于(a+b)n 的展开式的二项式系数C0n,C1n, C2n,…,Cnn,可以从函数的角度分析它们.Crn 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义 域是 . (2)二项式系数的性质 ①对称性 在(a+b)n的展开式中,与首末两端 的两个二项式系数相等,即 C0n=Cnn,C1n= Cn-1n ,…,Crn=Cn-rn . ②增减性与最大值 当k<n+12 时,二项式系数Ckn 随k 的增加而 ,由对称性知,当k>n+12 时,Ckn 随 k的增加而 ,且在中间取得最大值. 当n是偶数时,中间一项的二项式系数C n 2 n 取 得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式 系数C n-1 2 n 与C n+1 2 n 相等,且同时取得最大值. ③二项式系数的和 C0n+C1n+C2n+…+Cnn= ;C0n+C2n+ C4n+…=C1n+C3n+C5n+…= . 3.杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的,且两端的数都是 ,与这两个1等距离的项的系数 . (2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都 等于上一行中与这个数相邻的两数之 , 即 . 【典例】 已知 x-2x n 展开式中第三项的系 数比第二项的系数大162,求: (1)n的值; (2)展开式中含x3的项. 【解】 (1)因 为 T3=C2n(x)n-2 -2x 2 =4C2nx n-6 2 , T2=C1n(x)n-1 -2x =-2C1nx x-3 2 , 依题意得4C2n+2C1n=162, 所以2C2n+C1n=81, 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x3项,则 Tr+1=Cr9(x)9-r - 2 x r =(-2)rCr9x 9-3r 2 , 所以9-3r 2 =3 ,r=1, 所以第二项为含x3 的项:T2=-2C19x3= -18x3. 【名师点睛】 求二项展开式的特定项常见题 型及处理措施 (1)求第k项.Tk=Ck-1n an-k+1bk-1; (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母 的指数为0(即0次项); (3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项 公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好 都是整数的项.解这类问题必须合并通项公 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 |假期作业(十)| 式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属 于整数,再根据数的整除性来求解; (4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其 通项公式中同一字母的指数应是非负整数, 求解方式与求有理项一致. 一、选择题 1.(x- 2y)10的展开式中x6y4的系数是 ( ) A.-840 B.840 C.210 D.-210 2.(多选题)对于二项式 1x+x3 n(n∈N*),下 列四种判断正确的是 ( ) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 3.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n, 则a0+a2+a4+…+a2n等于 ( ) A.2n B.3 n-1 2 C.2n+1 D.3 n+1 2 4.