寒假作业(三) 直线与平面所成的角、二面角和空间中的距离-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(三) 直线与平面所成的角、 二面角和空间中的距离 1.用空间向量求直线与平面的夹角:如果v是 直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法 向量,设直线l与平面α 所成角的大小为θ, 则θ=π2- <v,n>,或θ=<v,n>-π2. 2.二面角:平面内的一条直线把一个平面分成 两部分,其中的每一部分都称为一个半平面, 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两 个半平面称为二面角的面. 3.用空间向量求二面角的大小:如果n1,n2 分 别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所 成角的大小为θ,θ=<n1,n2>或θ=π-<n1, n2>,特别地,则sinθ=sin<n1,n2>. 4.点到平面的距离:一般地,若A 是平面α 外 一点,B 是平面α 内一点,n是平面α 的一个 法向 量,则 点 A 到 平 面α 的 距 离 d = |BA →·n| |n| . 【典 例】 如 图,四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1的所 有棱 长 都 相 等,AC∩ BD=O,A1C1∩B1D1 =O1,四边形 ACC1A1 和四边形BDD1B1均为 矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求平面 OB1C1与平面 BDD1B1的夹角的余弦值. 【分析】 (1)利用线面垂直的判定定理证明. (2)建系,求平面OB1C1与平面BDD1B1的 法向量,利用平面间的夹角的向量公式求解. 【解】 (1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD, 又CC1∥DD1∥OO1, 所以OO1⊥AC,OO1⊥BD, 因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. (2)因 为 四 棱 柱 的 所 有棱 长 都 相 等,所 以 四 边 形 ABCD 为 菱 形,AC⊥BD,又 O1O ⊥底 面 ABCD,所 以 OB,OC,OO1两 两 垂 直.如图,以O 为原点,OB,OC,OO1所在直 线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 设棱长为2,因为∠CBA=60°, 所以OB= 3,OC=1, 所以O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2), 平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0), 设平面OB1C1的法向量为m=(x,y,z), 则由m⊥OB1 →,m⊥OC1 →, 所以 3x+2z=0,y+2z=0, 取z=- 3,则x=2,y=2 3, 所以m=(2,2 3,- 3), 所以cos<m,n>= m ·n |m|·|n|= 2 3 19 =2 5719 , 设平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角为θ, 则cosθ=|cos<m,n>|=2 5719 . 所以平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角的 余弦值为2 57 19 . 【名师点睛】 利用向量方法求平面间夹角的 大小 时,多 采 用 法 向 量 法,具 体 求 解 步 骤 如下: (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出两个平面的法向量n1和n2; (3)设 平 面 间 的 夹 角 为 θ,则 cosθ= |cos<n1,n2>|; (4)利用余弦值,确定平面间的夹角的大小. 提醒:若求二面角θ,求出cos<n1,n2>后,观 察图形,判断二面角为锐角还是钝角,若二面 角为锐角,则cosθ=-|cos<n1,n2>|,若二面 角为钝角,则cosθ=-|cos<n1,n2>|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 |高中数学| 一、选择题 1.OA,OB,OC是由点O 出发的三条射线,两两 夹角为60°,则OC 与平面OAB 所成角的余 弦值为 ( ) A.13 B. 3 3 C. 1 2 D. 3 2 2.如图,在长方体ABCD-A1B1 C1D1中,AB=BC=2,若该长 方体的体积为8 2,则直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的 角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP 垂直 于平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP 与 平面CDP 所成的锐二面角的大小为 ( ) A.π