寒假作业(七) 双曲线-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

二、填空题 7.设F1、F2分别为椭圆C: x2 4+ y2 3=1 的左、右 两个焦点,过F1 作斜率为1的直线,交C 于 A、B 两点,则|AF2|+|BF2|= . 8.已知P是椭圆y 2 5+ x2 4=1 上的一点,F1,F2是 椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,则△F1PF2 的面积是 . 9.已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的 距离为2,离心率e=12 ,则椭圆的标准方程 是 .若点P 为椭圆上任 意一点,则AP →·FP → 的取值范围是 . 三、解答题 10.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x 轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求 椭圆的标准方程. 11.已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的一个顶点 为A(2,0),离心率为 22 ,直线y=k(x-1)与 椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程; (2)当△AMN 的面积为 103 时,求实数k 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 寒假作业(七) 双曲线 1.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0) y2 a2 -x 2 b2 =1 (a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1 , F2 焦距 |F1F2|= a、b、c 的关系 c 2= 2.双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0) y2 a2 -x 2 b2 =1 (a>0,b>0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 |高中数学| 图形 范围 对称性 对称轴: 对称中心: 顶点 A1 , A2 A1 , A2 轴长 实轴 长|A1A2|= ,虚 轴 长 |B1B2|= 焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) 离心率 e=ca 且 渐近线 y=±bax y=± a bx 3.等轴双曲线 (1) 等长的双曲 线 叫 做 等 轴 双 曲线. (2)等轴双曲线具有以下性质: ①方程形式为 ; ②渐近线方程为 ,它们互相垂直,并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角; ③实轴长和虚轴长都等于 ,离心率e=2. 【典例】 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b> 0)的离心率为2 33 ,且过点P(6,1). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l1:y=kx+ 2与双曲线C 恒有两 个不同的交点A,B,求k的取值范围. 【解】 (1)由e=2 33 ,可得c 2 a2 =43 所以a2= 3b2,故双曲线方程可化为x 2 3b2 -y 2 b2 =1. 将点P(6,1)代入双曲线C 的方程,可解得 b2=1. 所以双曲线C 的方程为x 2 3-y 2=1. (2)联立直线与双曲线方程 y=kx+ 2, x2-3y2-3=0, ⇒(1-3k2)x2-6 2kx-9 =0, 由题意得 Δ=72k2-4(1-3k2)×(-9)>0, 1-3k2≠0, 解得-1<k<1且k≠± 33 , 所以k的取值范围为 -1,- 33 ∪ - 33,33 ∪ 33,1 . 【名师点睛】 直线与双曲线位置关系的处理 方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过 消元后化为一元二次方程,在二次项系数不 为零的情况下考查方程的判别式. (1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的交点; (2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点; (3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的 渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点. 一、选择题 1.若实数k满足0<k<5,则曲线x 2 16- y2 5-k=1 与曲线 x 2 16-k- y2 5=1 的 ( ) A.实半轴长相等 B.虚半轴相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2.已知双曲线的中心在原点,两个焦点