寒假作业(六) 曲线与方程、椭圆及其方程-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

三、解答题 10.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y +2 2=0相切. (1)求圆O的方程; (2)过点 1,33 的直线l截圆所得弦长为 2 3,求直线l的方程. 11.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2 +y2+2x+2y+1=0,求过两圆的交点的 圆中面积最小的圆的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 寒假作业(六) 曲线与方程、 椭圆及其方程 1.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1 , F2 焦距 |F1F2|= a、b、c 的关系 a2=b2+c2 2.椭圆的几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0) 范围 对称性 对称轴为 ,对称中心为 顶点 轴长 长轴长|A1A2|= ,短轴长|B1B2|= 焦点 焦距 |F1F2|= 3.离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为椭 圆的离心率. (2)性质: ① ②形象记忆:0<e<1,e越趋向于1越扁,形 如一;e越趋向于0越圆,形如O. 【典例】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的 取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 |高中数学| 【分析】 (1)将直线方程与椭圆方程联立,根 据判别式Δ的符号,建立关于m 的不等式求 解;(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关 系式,通过函数的最值求得 m 的值,从而得 到直线方程. 【解】 (1)由 4x2+y2=1, y=x+m, 得5x2+2mx+ m2-1=0, ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=4m2-20(m2-1)≥0, 解得- 52≤m≤ 5 2. (2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0. 由根与系数的关系,得x1+x2=- 2m 5 , x1x2= 1 5 (m2-1). ∴d= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2] = 24m 2 25- 4 5 (m2-1) =25 10-8m2, ∴当m=0时,d最大,此时直线方程为y=x. 【名师点睛】 (1)求直线被椭圆截得弦长的 方法: 法一是求出两交点坐标,用两点间距离公式; 法二是用弦长公式|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+1 k2 |y1-y2|,其中k为直线AB 的斜 率,A(x1,y1),B(x2,y2); (2)有关直线与椭圆相交弦长最值问题,要特 别注意判别式的限制. 一、选择题 1.已知椭圆x2+ y 2 b2+1 =1(b>0)的离心率为 10 10 ,则b等于 ( ) A.3 B.13 C. 9 10 D. 3 10 10 2.已知P 为椭圆C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦 点,且|F1F2|=23,若|PF1|与|PF2|的等差 中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( ) A.x 2 12+ y2 9=1 B.x 2 12+ y2 9=1 或x 2 9+ y2 12=1 C.x 2 9+ y2 12=1 D.x 2 48+ y2 45=1 或x 2 45+ y2 48=1 3.如图所示,把椭圆x 2 25+ y2 16 =1的长轴AB分成8等 份,过每个分点作x轴的 垂线交椭圆的上半部分 于 P1,P2,…,P7 七 个 点,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+… +|P7F|= ( ) A.35 B.30 C.25 D.20 4.已知P为椭圆x 2 25+ y2 16=1 上的一点,M,N 分 别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为 ( )