寒假作业(九) 排列与组合-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(九) 排列与组合 1.分类加法计数原理:完成一件事,如果有n类 办法,且第一类办法中有m1 种不同的方法, 第二类办法中有m2 种不同的方法,…,第n 类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件 事共有N= 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:完成一件事,如果需要分 成n个步骤,且做第一步有 m1种不同的方 法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n 步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 3.排列数公式 (1)排列数公式 乘积式:Amn = (n,m∈N,m≤n).当 m=n时,Amn =n×(n-1)×…×2×1=n!. 阶乘式:Amn = (n,m∈N,m≤n). (2)性质:Ann= ,O! = . 4.组合数公式 (1)乘积式: Cmn = Amn Amm = (n,m∈N,m≤n). 阶乘式:Cmn = (n,m∈N, m≤n). 特别:C0n= ,C1n= ,Cnn= . (3)组合数的性质 Cmn = ,Cmn +Cm-1n = . 【典例】 6本不同的书,按下列要求各有多少 种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; (2)分为三份,每份2本; (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份 3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本. 【分析】 本题属于分组分配问题,解题的关键 是要搞清事件是否与顺序有关.对于平均分组 问题要注意顺序,避免计数的重复或遗漏. 【解】 (1)把6本书平均分给甲、乙、丙3个 人,每人2本,分3步进行, 先从6本书中取出2本给甲,有C26种取法, 再从剩下的4本书中取出2本给乙,有C24种 取法, 最后把剩下的2本书给丙,有1种情况, 则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人,每人 2本,有C26×C24×1=90种分法. (2)无序均匀分组问题.先分三步,则应是C26 ×C24×C22 种方法,但是这里出现了重复.不 妨记6本书为A、B、C、D、E、F,若第一步取 了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记 该种分法为(AB,CD,EF),则C26×C24×C22 种 分 法 中 还 有(AB,EF,CD)、(CD,AB, EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF, AB,CD),共 A33 种情况,而这 A33 种情况仅 是AB、CD、EF 的顺序不同,因此只能作为 一种分法,故分配方式有C26×C24×C22÷A33 =15种. (3)C16×C25×C33=60种. (4)在(3)的基础上再进行全排列,C16×C25× C33×A33=360种. (5)分 为3类:①411,C16×C15×C13=90; ②321,C16×C15×A33=360种;③222,C26×C24 ×C22=90种,故共有90+360+90=540种. 【名师点睛】 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问 题有三种. ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组 均匀,最后必须除以n; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复 现象. (2)分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组 后再分配. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 |假期作业(九)| 一、选择题 1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有 ( ) A.53种 B.35种 C.8种 D.15种 2.某城市的电话号码由六位升为七位(首位数 字均不为零),则该城市可增加的电话部数是 ( ) A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×96 C.9×106 D.8.1×106 3.(多选题)下列各式中与排列数Amn 相等的是 ( ) A. n ! (n-m)! B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. nAmn-1 n-m+1 D.A1nAm-1n-1 4.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任 意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的 交点有 ( ) A.36个 B.7