寒假作业(二) 空间点、线、面与空间向量-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

三、解答题 10.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别在棱B1B 和D1D 上,且BE= 1 3BB1 ,DF=23DD1. (1)证明:A,E,C1,F四点共面; (2)若EF → =xAB → +yAD → +zAA1 →,求x+y +z的值. 11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC 和 平面A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是 2,M 是BC 边的中点,则在棱CC1上是否存 在点N,使得异面直线AB1和 MN 所夹的 角等于45°? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 寒假作业(二) 空间点、线、面与空间向量 1.空间中直线、直线的平行与垂直:如果v1 是 直线l1 的一个方向向量,v2 是直线l2 的一 个方向向量,则 (1) . (2)l1⊥l2⇔<v1,v2>= π 2⇔v1 ·v2=0. 2.两条异面直线之间的距离 (1)如果l1 与l2 是空间中两条异面直线, M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称 MN 为l1与l2的公垂线段. (2)空间中任意两条异面直线的公垂线段都 存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的 长,称为这两条异面直线之间的距离. 3.平面的法向量:如果α是空间中的一个平面, n是空间中的一个非零向量,且表示n的有 向线段所在的直线与平面α 垂直,则称n为 平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α 垂直,记作n⊥α. 4.空间中直线、平面的平行与垂直:如果v是直 线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向 量,n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α,或l⊂α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 |假期作业(二)| 5.空间中平面、平面的平行与垂直:如果n1 是 平面α1的一个法向量,n2 是平面α2 的一个 法向量,n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2, 或α1与α2重合. 6.设v1,v2 分别是空间中直线l1,l2 的方向向 量,且l1 与l2 所成角的大小为θ,cosθ= |cos<v1,v2>|. 7.三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平 面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它 也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条 直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和 这条斜线在该平面内的射影垂直. 【典例】 如图所示,在四棱锥P- ABCD 中,PD⊥底面ABCD, 底面ABCD 为正方形,PD= DC,E,F 分别是AB,PB 的 中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点G,使 GF⊥平 面PCB. 【分析】 证明线面垂直问题,可以利用线面 垂直的判定定理,或者证明直线的方向向量 与平面的法向量的数量积为零. 【解】 (1)证 明:以 DA, DC,DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系(如图所示),设 AD=a, 则 D(0,0,0),A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0),E a,a2,0 ,P(0,0,a), F a2 ,a 2 ,a 2 , ∴EF →·DC → = -a2 ,0,a2 ·(0,a,0)=0, ∴EF⊥DC. (2)设G(x,0,z)满足条件,则G∈平面PAD. FG → = x-a2 ,-a2 ,z-a2 , 由FG →·CB → = x-a2 ,-a2 ,z-a2 ·(a,0, 0)=ax-a2 =0,得x=a2, 由FG → ·CP → = x-a2 ,-a2 ,z-a2 · (0, -a,a)=a 2 2+az- a 2 =0,得z=0, ∴G 点 坐 标 为 a2 ,0,0 ,即 G 点 为 AD 的 中点. 【名师点睛】 有关是否存在一点使得直线与 平面之间满足垂直或平行的探索性问题,解 答时,先建立空间直角坐标系,再假设存在这 样的点,设出该点的坐标,将直线与平面的垂 直、平行关系转化为直线的方向向量与平面 的法向量的关系,利用向量坐标运算建立关 于所求点坐标的方程,若方程有解,则点存 在;否则,点不存在. 一、选择题 1.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2), b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(