寒假作业(八) 抛物线及其方程-【高考解码·过好假期每一天】2026年高二数学寒假作业(人教B版)

寒假作业(八) 抛物线及其方程 1.抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) p2 ,0 x=-p2 -p2 ,0 x=p2 x2=2py(p>0) 0,p2 y=-p2 (p>0) 0,-p2 y=p2 2.抛物线的几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F 到准线l的距离 图形 开口方向 向右 向上 焦 半 径 [其 中 P (x0,y0)] |PF|= |PF|=-x0 +p2 |PF|=y0 +p2 |PF|= 范围 ,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 对称轴 顶点 离心率 【典例】 已知A、B 是抛物线y2=2px(p>0) 上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且 △ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直 线AB 的方程. 【分析】 由抛物线的对称性设出A、B 两点的 坐标,再利用垂直和点A、B在抛物线上求解. 【解】 抛物线的焦点F p2 ,0 ∵抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|, ∴△ABO 为等腰三角形. ∴A、B 两点关于x 轴对称. 设A(x0,y0),则B(x0,-y0), ∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点, ∴BF⊥OA. 则kBF·kOA=-1,即 -y0-0 x0-p2 ·y0 x0 =-1. 又∵y20=2px0,∴x0= 5 2p. ∴直线AB 的方程为x=5p2. 【名师点睛】 利用抛物线的性质可以解决的 问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题; (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的 问题; (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题; (4)焦点:解决焦点弦问题. 一、选择题 1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x 2 6+ y2 2=1 的右焦点重合,则p的值为 ( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.抛物线y2=2px过点A(2,4),F是其焦点,又 定点B(8,-8),那么|AF|∶|BF|= ( ) A.1∶4 B.1∶2 C.2∶5 D.3∶8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 |假期作业(八)| 3.抛物线y2=4x的焦点为F,点P 为抛物线上 的动点,点 M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为 ( ) A.2 3 B.4 C.6 D.4 3 4.(多选题)对标准形式的抛物线,下列条件满 足抛物线方程为y2=10x的有 ( ) A.焦点在x轴上 B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离 等于6 C.焦点到准线的距离为5 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐 标为(2,1) 5.过抛物线y2=4x的焦点F 的直线l交抛物 线于A,B 两点.若AB 的中点M 到抛物线 准线的距离为6,则线段AB 的长为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.无法确定 6.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物 线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行 于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后 必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦 点为F,一条平行于x轴的光线从点 M(3,1) 射出,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物 线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为 ( ) A.-43 B. 4 3 C.±43 D. 16 9 二、填空题 7.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛 物线上三点,若FA → +FB → +FC → =0,则|FA → |+ |FB → |+|FC → |= . 8.抛物线y2=4x 上的点到直线x-y+4=0 的最小距离为 . 9.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴 上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距 离为6.则抛物线C 的方程为 ;若抛物线C 与直线 y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB 中 点横坐标为2,则k= . 三、解答题 10.如图所示,已知抛物线 y2