2024年成都市中考数学一轮复习：第9讲 圆及其性质

第9讲 圆及其性质 常考题型： · 垂径定理：垂直于弦（不是直径）的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理及其推论实质是指一条直线满足： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.五个条件中的两个，那么可推出其中三个（知二推三）. · 圆周角和圆心角定理： 圆心角定理：在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。 圆周角定理:①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。 · 圆内接四边形性质定理： 以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于点P，则： 1.对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，即：若∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°则A,B,C,D四点共圆. 2.任意一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上，即：∠EBC=∠ADC； 3.四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD或∠DAC=DBC或∠BAC=∠BDC或∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点在同一个圆上. 4.相交弦定理：若AP×PC=BP×DP，则A,B,C,D四点在同一个圆上. 5.托勒密定理：AB×CD+AD×BC=AC×BD，则A,B,C,D四点在同一个圆上. · 切线性质定理： 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。 切线的性质定理的推论： （1）经过切点垂直于切线的线段必是此圆的直径或半径； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径。 · 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 · 相交弦定理： 若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则（相交弦定理） · 切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. · 割线定理： 文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 数学语言：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D,则有. 1、 【典例剖析】 1.如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 3.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若，则阴影部分的面积为 　 　． 4.如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果不取近似值） 5.如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE． （1）求证：PC=PD； （2）若AC=6cm，BC=8cm，求线段AE、CE的长． 6.如图，已知C、D是直径为AB的圆O上的两点，连接CD于点E，DE＝DA，点P为射线DC上一点，使∠PBC＝∠BDC． （1）求证：PB为圆O的切线； （2）求证：BE2＝ED•PC； （3）若BC＝2，AD，求PB的长． 7.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且∠F＝67.5°，∠G＝22.5°，，边AB过圆心O． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠BAC的正切值； （3）若AB＝2，则CE•CA的值等于多少？ 8.如图，AB为⊙O的直径，C，D在圆上，BD平分∠ABC，DE⊥BC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝5，BE＝4，求sinA； （3）请用线段AB，BE表示CE的长，并说明理由． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2），求cos∠CDB； （3）在（2）问的条件下，点G为OE上一点，过点G作AB的垂线，交BD延长线于点M，交AC于点N，．若⊙O的半径为5，求MN的长． 10.已知：点为的直径上一动点，过点作，交于点和点，连接、，的角平分线交于点． （1）若，求证：； （2）若，在（1）的条件下，求的值； （3）若的角平分线交于点，交于点．当点与点重合时，　 　；据此猜想，当点在（不含端点）运动过