相交线与垂线 2023-2024学年人教版数学七年级下册寒假 讲义

七年级下学期寒假讲义 相交线与垂线 1.相交线： 直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。 如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点． 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线． ∠3+∠4=180° 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角． 对顶角：如果两个角有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角． 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个． 2.对顶角与邻补角的性质： 对顶角性质：对顶角相等． 邻补角性质：邻补角互补． 3.垂线 （1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的__________，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD． （2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度． （3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上． （4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有__________条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外． （5）垂线的画法 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． 注意点： 1．垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角． 2．垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． 4.垂线段最短 垂线段：点A 与垂足的连线称为垂线段． 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 5.三线八角： 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，直线l被称为截线，直线a、b被称为被截线 同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧） 如：∠1和∠5。 内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧） 如：∠3和∠5。 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。 注意点： 1．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型． 2．在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线． 3．这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 例1．下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　） A B C D 2．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（　　） A．∠1 和∠2 B．∠1 和∠4 C．∠2 和∠3 D．∠3 和∠4 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD＝120°，则∠BOD＝　 　°． 1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF＝9