专题1-5 函数奇偶性，单调性等12类问题汇总-2023-2024学年高一数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019必修第一册）

专题1-5 函数奇偶性，单调性等12类问题汇总 题型一 求解析式 题型二 求定义域 题型二 值域问题 题型三 奇函数与偶函数混合求值，求解析 题型四 由函数单调性求参数范围（分式型，复杂根式型） 题型五 由单调性解函数不等式 题型六 解奇函数不等式（移项，结合图像） 题型七 解偶函数不等式（加绝对值） 题型八 解分段函数不等式（画图） 题型九 利用单调性，奇偶性比大小 题型十 利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值 题型十一 函数图像的识别 题型十二 画函数图像 1． 求函数解析式常用方法有：待定系数法，换元法，方程组法，还有一类题型是结合奇偶性已知半边解析式求另一半 二．函数的定义域：一般要注意分母和偶次根号的限制等等，由几个式子构成的函数，则定义域是各部分定义域的交集．容易忽略的还有分数型指数幂尽量化成根式来观察，比如求函数的定义域 三．函数的值域： （1）本章主要探讨复杂根式型函数和分式型函数两种，指数型和对数型复合函数放在后面章节 遇到复杂根式型函数一般考虑换元，遇到分式型函数一般分离常数， （2）若求某区间上的值域，需要先分析函数在该区间上的单调性，而不是比较区间两端函数值 (3)若函数在某区间上不单调，那么需要比较区间两端的函数值从而得出最终的值域 四．求函数单调区间： （1）先考虑函数的定义域，注意作答时写单调区间不能用“∪”并集，而是用“，”逗号隔开 （2）解答题求函数单调性用作差法，注意提公因式，比如 （3）选填一般不用作差法而是通过逻辑上的关系直接判断， 比如：增函数+增函数=增函数，增函数－减函数=增函数等 五．已知单调性求参数范围：利用集合间的包含关系处理，在上单调，则区间是相应单调区间的子集，且需要注意端点的取舍 六．解函数不等式：（1）先考虑函数的定义域，再结合奇偶性单调性脱掉“ f ” 若是奇函数一般需要移项再脱“ f ”，若是偶函数一般脱“ f ”后加绝对值，再平方去绝对值 （2）数形结合法，画出函数的大致图像 七、函数图象的平移，对称，翻折 （1）平移变换：左加右减，上加下减 ①进行上下平移a个单位； ②进行左右平移a个单位 （2）对称变换 ①关于y轴对称； ②关于x轴对称 ③关于原点轴对称； ③关于直线x＝a对称 ⑤关于y＝x对称 （3）的翻折变换 ①把x轴下方部分翻折到上方，x轴及上方部分不变 ②把y轴左侧部分去掉，再把y轴右侧部分翻折到左侧，右侧不变 【练习熟练】 要得到的图像：第 ①步：；第②步：；第③步： 要得到的图像： ①；②；③ 要得到的图像： ①② 要得到的图像：①② 七、复合函数问题：同增异减 单调性：先看定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性 复合函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数. 八、函数图象的识别 对于函数图象的识别，要抓住函数的性质,定性分析，一般有以下方法: (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置;根据函数的值域判断图象的上下位置; (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)根据函数的周期性判断图象的循环往复﹔ (4)根据函数的奇偶性判断图象的对称性; (5)根据函数的特殊点排除不符合要求的图象 九、函数图象的画法及应用 华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征 1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性，渐近线等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养． 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果． 题型一 求解析式 建立方程组求解析式 1． （2023上·浙江杭州·高一校联考）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 . 2． （2023上·广东广州·高一广东广雅中学校考）已知，则 . 3． （2023上·广东深圳·高一校考）已知函数满足，且，则 . 待定系数法求解析式 4． 已知二次函数满足，且.求的解析式 5． 若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上