专题1-4 一文搞定基本不等式，二次不等式15类题型-2023-2024学年高一数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019必修第一册）

专题1-4 一文搞定基本不等式，二次不等式15类题型 题型一 基本不等式的直接使用 题型二 “1”的妙用：乘1法和1的代换 一、乘“1”法 二、“1”的代换 题型三 配凑法 题型四 整体法或换元（与） 单分母换元 双分母换元 题型五 二次比一次型 题型六 和，积，平方和互相转化 题型七 消元法 题型八 因式分解型 题型九 齐次式：分离常数型 题型十 同除型 题型十一 根式平方和为定值型 题型八 判断基本不等式能否成立（易错） 题型九 基本不等式恒成立与能成立问题 题型十 基本不等式的实际应用问题（涉及调和平均） 题型十一 对勾函数 题型十二 一元二次方程，不等式常考问题 R上的恒成立·判别式法 有区间限制的恒成立 恒成立·变更主元 能成立问题 解含参一元二次不等式 一元二次方程根的分布 题型十三 与指数对数结合的基本不等式问题 题型十四 万能“k”法 题型十五 不等式的性质中档题汇编 一、利用基本不等式求最值的技巧 (1)利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。 (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。 (3)条件最值的求解通常有两种方法:一是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解 二、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 三、常用不等式链：（主要用于和积转换） 四、对分母进行换元 若分母中出现有“+”，“－”符号可以考虑进行换元 如，可以令，则有，求的最小值，就变成了常规的乘“1”法 五、不等式中恒成立问题的求解 恒成立问题是高考中的高频考点,由于我们所学知识有限,与函数有关的问题我们还只能就一次、二次函数进行一些讨论,尽管恒成立问题在函数、数列、解析几何中都会有涉及,但我们目前只能了解这类基本解答模型,还不能就更多内容进行深入讨论。求解含有参数的不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想的应用。 (1)判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 (2)变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 （3）数形结合法 （4）变量分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 六、含参不等式的求解问题 (1)一元二次不等式,的解集的端点值是一元二次方程的实根,也是二次函数的图像与轴交点的横坐标。 (2)二次函数的图像在轴上方的部分,满足不等式;图像在轴下方的部分,满足不等式。一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化。 七、柯西不等式：课本之外的，基本用不到 若，则（当且仅当，即时取等号）. 八、“万能K法”（也是基本用不到，属于凑数的） 设K法的三个步骤： ⑴问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 九、一元二次不等式(其中a>0)的解集. Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不等的实根(x1＜x2) 有两个相等的实根 (x1＝x2) 没有实根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}   题型一 基本不等式的直接使用 1． （2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）若，，且，则的最小值是________ 2． 若，，则的最小值为______． 3． 若，，则的最小值为______． 题型二 “1”的妙用：乘1法和1的代换 一、乘“1”法 4． （2023上·广东广州·高一广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 5． （2023上·广东深圳·高一深圳中学校考）已知且，则的最小值是 ． 6． 已知，且，求的最小值． 7． 已知正数x、y满足，求的最小值为_____