3.3.2 抛物线的几何性质（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的几何性质 一、四种抛物线的几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1、抛物线，. 2、抛物线，. 3、抛物线，. 4、抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 四、直线与抛物线相交弦长问题 1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得.故，即. （3）直线的方程为. 2、焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 题型一 由抛物线方程研究其几何性质 【例1】（2023·陕西汉中·高二汉中中学校考期中）关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【变式1-1】（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 【变式1-2】（2023·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·高二课时练习）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. （1）； （2）； （3）； （4）. 题型二 判断直线与抛物线的位置关系 【例2】（2023·上海浦东新·高二川沙中学校考开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式2-1】（2022·四川自贡·高二统考期末）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式2-2】（2023·陕西·高二校联考期中）（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023上·高二课时练习）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 题型三 直线与抛物线相交弦长问题 【例3】（2023·北京东城·高二汇文中学校考期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·甘肃临夏·统考一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3-2】（2023·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考期中）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点． （1）求证：；