3.3.1 抛物线的标准方程（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.1 抛物线的标准方程 一、抛物线的定义 1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹. 2、焦点：定点F叫作抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫作抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二、抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 四、求抛物线标准方程的方法 1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； （2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一 对抛物线定义的理解 【例1】（2023·河北·高二校联考期中）若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ） A．7 B．10 C．8 D．9 【变式1-1】（2023·江西·高二浮梁县第一中学校联考期中）设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·河北邢台·高二校联考期中）已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二 求抛物线的标准方程 【例2】（2023·广西梧州·高二校联考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江苏连云港·高二校联考期中）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】以双曲线的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为______. 题型三 与抛物线有关的轨迹方程 【例3】（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【变式3-1】（2023·江苏·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【变式3-2】（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【变式3-3】（2023·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 题型四 抛物线中距离和差的最值 【例4】（2023·江苏淮安·高二统考期中）设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2023·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2023·江苏·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点