第1部分 第18讲 圆的基本性质(PPT)-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习课件(潍坊专用)

数 学 第六章　圆 第18讲　圆的基本性质 考点分布 考频 考题示例 考点解读 垂径定理及 圆心角、弧、 弦的关系 7年1考 2017年第10题3分 （1）理解圆、弦、弧等有关概念. （2）掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用它们进行有关的计算和证明. （3）掌握垂径定理，能灵活运用它进行计算和证明 考点分布 考频 考题示例 考点解读 圆周角定理 及其推论 7年3考 2019年第11题3分； 2017年第12题3分； 2016年第18题3分 掌握圆周角定理及其推论，灵活运用它们进行计算和证明 命题趋势 　　圆的有关性质中，垂径定理及其推论和圆周角定理及其推论是历年中考的热点，求弦长或角的度数将会成为考查的重点.圆既是相对独立的一个知识，又是前面所学平行线、三角形、四边形、函数、方程等知识的综合和延伸，与三角形、方程、函数等知识的结合可构成题型新颖、构思精妙的综合性试题，成为中考压轴题 知识点1　圆的对称性 圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 　圆心　⁠的直线 圆是中心对称图形，对称中心为 　圆心　⁠ 垂径定理 垂直于弦的直径 　平分　⁠弦，并且平分弦所对的两条 　弧　⁠ 平分弦（不是直径）的直径 　垂直于　⁠弦，并且 　平分　⁠弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧、两条弦中有一组量 　相等　⁠，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 圆心　 圆心　 平分　 弧　 垂直于　 平分　 相等　 　　【基础练】（2021·杭州模拟）已知☉O的半径为5 cm，一条弦的弦心距为3 cm，则此弦的长为 　8　⁠ cm. 8　 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的 　一半　⁠ 推论1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的 　一半　⁠ 推论2 同弧或等弧上的圆周角 　相等　⁠；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 　相等　⁠ 推论3 半圆（或直径）所对的圆周角是 　直角　⁠；90°的圆周角所对的弦是 　直径　⁠ 推论4 圆内接四边形的对角 　互补　⁠ 　　【易错警示】求圆中一条弦所对的圆周角的度数时不要漏解，一条弦所对的圆周角有两个，它们互补. 一半　 一半　 相等　 相等　 直角　 直径　 互补　 知识点2　圆周角定理及其推论 命题点1　垂径定理 　　利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、弦心距和弦长的一半所组成的直角三角形中，根据勾股定理构建方程求出未知线段的长，而弓形的高可以用半径±弦心距来求. 如图①②所示，设圆的半径为r，弦长为a，弦心距为d，弓形的高为h，则2＋d2＝r2，h＝r－d或h＝r＋d. 　　【例1】（2021·青海）如图所示是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米.若从太阳目前所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　A　） A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分 A 思路分析　设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解. 自主解答　 【变式训练1】（2021·丽水）如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若☉O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　B　） B A.OE＝m·tan α B.CD＝2m·sin α C.AE＝m·cos α D.S△COD＝m2·sin α 命题点2　圆心角与圆周角 　　解决与圆有关的角度计算问题时，一般先判断角是圆心角还是圆周角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.特别地，当圆中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”，在圆中构造直角三角形来解决问题. （1）求证：∠BAD＝∠CAD. 思路分析　（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论. 　　【例2】（2021·北京）如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，AD⊥BC于点E. 自主解答　 解：（1）证明：∵AD是☉O的直径，AD⊥BC， ∴＝，∴∠BAD＝∠CAD. （2）连接BO并延长，交AC于点F，交☉O于点G，连接GC.若☉O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长. 思路分析　（2）根据勾股定理求出BE，根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理得到∠BCG＝90°，根据勾股定理求出GC的长，证明△AFO∽△CFG，根据相似三角形的性质求出OF的长. 自主解答　 解：（2）在Rt△BOE中