(讲练)第7讲 一元二次方程(PPT)-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习课件(山东专用)

数 学 第一部分　教材梳理 第二章　方程（组）与不等式（组） 第7讲　一元二次方程 知识点1　一元二次方程及其解法 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 　整式　⁠方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： 　ax2＋bx＋c＝0　⁠（a，b，c是常数且a≠0），任何一个一元二次方程都能化成它的一般形式. 整式　 ax2＋bx＋c＝0　 　　【名师点拨】 （1）一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件. （2）将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般将二次项系数化为正数. 2.一元二次方程的解法 直接开平方法 适合（x＋a）2＝b（b≥0）形式的方程 因式分解法 一般步骤：（1）将方程的右边各项移到左边，使右边为0.（2）将方程左边分解为两个一次因式的积.（3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程.（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）化二次项系数为1.（2）将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边.（3）两边同时加上一次项系数一半的平方.（4）将方程化成（x＋a）2＝b的形式.（5）若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b＜0，则原方程无解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是  　x＝（b2－4ac≥0）　⁠. 用公式法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值.（2）若b2－4ac≥0，则运用求根公式求出方程的解；若b2－4ac＜0，则原方程无解 （b2－4ac≥0）　 知识点2　一元二次方程根的判别式 　　一元二次方程根的判别式：Δ＝ 　b2－4ac　⁠，注意隐含条件a≠0. 　　当Δ＞0时⇔方程有 　两个不相等　⁠的实数根； 当Δ＝0时⇔方程有 　两个相等　⁠的实数根； 当Δ＜0时⇔方程 　没有　⁠实数根. 　　【名师点拨】 用根的判别式的前提条件是ax2＋bx＋c＝0中a≠0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题. b2－4ac　 两个不相等　 两个相等　 没有　 知识点3　一元二次方程根与系数的关系 　　若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝ 　－　⁠， x1x2＝ 　　⁠. －　 　 　　【名师点拨】 1.利用根与系数的关系解题的前提是方程的两根存在，即要注意根的判别式b2－4ac≥0. 　　2.几种常见的变形 ①＋＝（x1＋x2）2－2x1x2； ②（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； ③＋＝； ④＋＝＝. 知识点4　一元二次方程的应用 　　列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程（组）解应用题的步骤完全一样.常见问题有：平均变化率问题、生产销售类问题、面积问题等. 　　【名师点拨】 因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件. 命题点1　一元二次方程的解法 　　一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.这四种解法各有自己的特点，如果观察不出它们的特点，找不出最恰当的解法，就会使解题过程太繁琐以致出错.解决这一问题的关键是：首先理解并记住各种解法适合的类型，其次理解并记住各种解法的选取顺序.具体如下： （1）若方程符合a（x－n）2＝m（ma≥0，a≠0）的形式，用直接开平方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）而言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好. （2）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当c＝0时，用因式分解法比较简单. （3）一般方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当a，b，c不缺项且不易分解因式时，一般采用公式法. （4）配方法也是一种重要的解题方法，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用该法比较简单. （5）对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，再化为一般形式求解. 　　【例1】用配方法求一元二次方程（2x＋3）（x－6）＝16的实数根. 　　思路分析　首先把方程化为一般形式为2x2－9x－34＝0， 然后变形为x2－x＝17，最后利用配方法解方程. 　　自主解答　 　　解：原方程化为一般形式为2x2－9x－34＝0， 　　变形为x2－x＝17. 　　配方，得x2－x＋＝17＋， 　　∴＝， 　　∴x－＝±， 　　即x1＝，x2＝. 　　【变式训练】解方程：x2＋6x＝－7. 　　解：∵x2＋6x＝－7， 　　∴x2＋6x＋9＝－7＋9，即（x＋3）2＝2，