6.1.4 数乘向量（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 6.1.4 数乘向量 第六章 平面向量初步 高一必修第二册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.了解数乘向量的运算律.(重点) 2.理解数乘向量的定义及几何意义.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：当λ＝0时，λa是数0还是0？λa与a有何关系？ 提示　λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0；当λ≠0，a≠0时，λa与a共线，且|λa|＝|λ|·|a|. 新知探索 知识点一：数乘向量 我们已经知道,多个向量相加,结果是一个向量.特别地,给定一个向量 个相加的结果,是一个模为 、方向与相同的向量,如图所示, 通常这个向量简记为,即 3个相加的结果,是一个模为、方向与相反的向量,如图所示,通常这个向量简记为,即 你能根据上述实例,给出实数与任意一个向量的乘积的定义吗? 一般地,给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量, 记作,其中: (1)当且时,的模为 ,而且的方向如下: ①当时,与的方向相同; ②当时,与的方向相反. (2)当或时,. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量. 新知探索 知识点一：数乘向量 由定义不难看出,数乘向量的结果是一个向量,而且这个向量与原来的向量共线(平行),即;数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积, 即.当和都是实数,且是向量时:是向量,也是向量;是实数,但 是向量.可以看出 例如, 由此可知,写成也不会产生歧义.以后我们常将简单地写成.数乘向量的定义说明,如果存在实数,使得,则. 新知探索 知识点一：数乘向量 数乘向量： 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|，若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 新知探索 知识点一：数乘向量 数乘向量的运算律：设λ，μ为实数，则 ①(λ＋μ)a＝λa＋μa； ②λ(μa)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 新知探索 知识点一：数乘向量 注意： (1)数乘向量与实数的乘法不同，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数，特别当λ＝0时，λa＝0. (2)向量λa与a共线. 新知探索 知识点一：数乘向量 教材例题 【典例1】已知,其中为非零向量,判断与是否平行,并求 的值. 【解析】由得,代人 得. 因此,且,即. 利用数乘向量,可以方便地研究三点共线的情形.例如,当时, 三点一定共线,而且点为线段 的中点;当时, 三点共线,而且为线段的一个三等分点,如图所示. 一般地,如果存在实数,使得,则与平行且有公共点 ,从而三点一定共线. 教材例题 【典例2】已知, 其中为非零向量,判断三点是否共线.如果共线,求出. 【解析】由已知可得因此三点共线,且, 即 课堂练习 【训练1】已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________. 【解析】　eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b， 所以m＝－2. 课堂练习 【训练2】(多选)下列叙述中正确的是(　　) A.若a＝b，则3|a|>2|b| B.若a∥b，则a与b的方向相同或相反 C.若a∥b，b∥c，则a∥c D.对任一非零向量a，eq \f(a,|a|)是一个单位向量 【解析】A正确：由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故C错误；对于D，非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)，故D正确.故选AD. 课堂练习 【训练3】.(多选)设a，b都是非零向量.下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的条件是(　　) A.2a＝b B.a∥b C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b| 【解析】对于A，当2a＝b时，eq \f(2a,|2a|)＝eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)；对于C，当a＝2b时，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)； 对于D，当a＝－b时，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|).故选AC. 课堂练习 【训练4】已知a，b是两个非