5.1.1 任意角（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 第五章 三角函数 情境引入 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等.这些现象都可以用三角函数刻画. 情境引入 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？ 我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别就是角的始边和终边.当角确定时，终边的位置就确定了.这时，射线与的交点也就确定了.由此想到，可以借助角的大小变化刻画点的位置变化. 情境引入 通过观察可以发现，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角.但如果继续旋转，所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，我们需要先扩大角的范围. 情境引入 问题1：现实生活中，你接触过超出范围的角吗？请举例说明. 体操中有“前空翻转体度”“后空翻转体度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同. 自行车前进或后退的过程中，链条经过齿轮的角度不仅可能超出，而且旋转的方向也不相同. 新知探索 下图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向. 这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向.因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广. 概念生成 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”. 概念生成 概念生成 该图中的角是一个正角，它等于. 该图中，正角21负角正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的的角总是负角. 概念生成 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 正角(逆时针) 负角(顺时针) 零角(没有做任何旋转) 概念生成 设是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念.如图，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为. 于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，我们有这样，角的减法可以转化为角的加法. 概念生成 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，下图中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 新知探索 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？ 高中数学思想就是将几何方程转化为代数方程来解决的.在空间中，给你任意一个角，如何准确地求出它的度数呢？就需要把它放入直角坐标系中去，并建立合适的坐标轴，求出角的度数，正弦、余弦、正切等.在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，还能有效地体现出角的终边位置具有周而复始的现象. 新知探索 问题2：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？ 不难发现，在图中，如果角的终边是，那么，角的终边都是，并且与角终边相同的这些角都可以表示成的角与个周角的和，如： (这里)，(这里). 新知探索 设，则， 角都是的元素，角也是的元素(此时).因此，所有与角终边相同的角，连同角在内，都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角的终边相同. 概念生成 一般地，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 设，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律. 新