专题14角的平分线（4个知识点7种题型3个易错点）【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题14角的平分线（4个知识点7种题型3个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.角平分线的作法 知识点2.角平分线的性质定理（重点） 知识点3.角平分线的性质定理的逆定理（重点） 知识点4.三角形三条角平分线的性质（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.角平分线性质的应用 题型2.利用角平分线的性质定理的逆定理证明边相等 题型3.角平分线的性质定理和其逆定理的综合运用 题型4.角平分线的实际应用 题型5.利用角平分线解决与面积有关的问题 题型6.方案设计问题 题型7.开放探究题 【方法三】差异对比法 易错点1.运用角平分线时常忽略“到角两边的距离”，从而导致错误 易错点2.忽略角平分线性质定理的逆定理中的条件，造成错误推理 易错点3.考虑问题不全面导致错解或者丢解 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 能够证明角平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。 2. 了解三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3. 能够用尺规作已知角的平分线。 4. 能运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的实际问题。 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.角平分线的作法 定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线. 【例1】（2023上·广西河池·八年级统考期中）作图题． (1)“一带一路”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路，和两个城镇A，B（如图），准备在S区建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    (2)如图，已知．    ①画出与关于轴对称的图形． ②直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线与角平分线的作法，作图—轴对称变换 （1）根据角平分线与线段垂直平分线的作法作出图形即可； （2）①根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； ②根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）①如图所示，即为所求； ②．    知识点2.角平分线的性质定理（重点） 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 【例2】（2023上·辽宁朝阳·八年级校考期中）在中， ，，平分，则三角形和面积的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．先根据角平分线的性质得到点D到和的距离相等，然后根据三角形面积公式得到． 【详解】解：如图：过点分别作，      因为平分， 所以 因为，，且， 所以 故答案为： 知识点3.角平分线的性质定理的逆定理（重点） 定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【例3】如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB =90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为点E，EF∥BC，求证：EC平分∠FED． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCE=∠DEC，根据平行线的性质和等量代换证明即可． 【详解】证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB =90°，DE⊥AB， ∴DE=DC， ∴∠DCE=∠DEC， ∵EF∥BC， ∴∠DCE=∠FEC， ∴∠FEC=∠DEC， ∴EC平分∠FED． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 知识点4.三角形三条角平分线的性质（重点） 1. 三角形的三条角平分线交于一点 2. 角平分线的交点到三边的距离相等 3. 角平分线的交点为三角形的内心 4. 三角形的角平分线分对边两段之比等于夹这个角的两边对应之比 【例4】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ）    A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭应在三条角平分线的交点处． 故选：C． 【方法二】实例探索法 题型1.角平分线性质的应用 1．（2023上·广东广州·八年级广州市第三中学校联考期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平