4.1 数列的概念（八大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4．1 数列的概念 【题型归纳目录】 题型一：数列的有关概念和分类 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 题型三：数列通项公式的简单应用 题型四：递推公式的应用 题型五：前项和公式与通项的关系 题型六：数列单调性的判断 题型七：求数列的最大项与最小项 题型八：周期数列 【知识点梳理】 知识点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 知识点诠释： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 知识点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 知识点三、数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 知识点诠释： （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 知识点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如： 数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示． 数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 知识点五、数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，