14.1 勾股定理（课时2）同步练习 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

14.1　勾股定理 课时2　勾股定理的验证及简单应用 一、基础巩固 知识点1 勾股定理的验证 1.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图是他用两个全等的直角三角形拼出的图形,该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为　　　　 ,又可以表示为　　　　　　　.对比两种表示方法可得　　　　　　　,化简,可得a2+b2=c2.他的这个证法也成了数学史上的一段佳话.  2.如图是用四个能够完全重合的直角三角形拼出的图形,其中直角边长分别为a,b,斜边长为c,用含a,b,c的代数式表示: (1)大正方形的边长为　　　　,面积为　　　　;  (2)小正方形的边长为　　　　,面积为　　　　;  (3)四个直角三角形的面积和为　　　　,根据图中面积关系,可列出a,b,c之间的关系式为　　　　.  3.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”,Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题. (1)试说明a2+b2=c2; (2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值. 知识点2 勾股定理的简单应用 4.如图,将长为12 cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升4.5 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长为 (　　) A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.15 cm 5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 (　　) A.145 mm B.150 mm C.155 mm D.160 mm 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边. (1)若a=12,b=5,则c=　　　　; (2)若c=41 cm,b=9 cm,则a=　　　　. 7.如图,某种货车的车高AC为4 m,卸货时货车后面的支架AB弯折落在地面A1处,经测量A1C=2 m,则弯折点B与地面的距离为　　　　m. 8.如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯,测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6 cm,则吸管的长至少为　　　　cm.  二、能力提升 1.如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少为 (　　) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 2.如图,笑笑将一张A4纸(尺寸为210 mm×297 mm,AC>AB)剪去一个直角三角形后,量得CF=90 mm,BE=137 mm,则剪去的直角三角形的斜边长为 (　　) A.80 mm B.120 mm C.160 mm D.200 mm 3.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是:如图,推开双门(AD和BC),门边缘的D,C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,则门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 (　　) A.100寸 B.101寸 C.102寸 D.103寸 4.一艘小船早晨8:00出发,它以每小时8海里的速度向正东方向航行,1小时后,另一艘小船从同一地点以每小时12海里的速度向正南方向航行,上午10:00时,两艘小船相距 　　　　海里. 5.已知CD是△ABC的边AB上的高.若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为　　　　 . 6.如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸(假设绳子是直的),开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,求船向岸边移动的距离. 7.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程. 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2. 证明:如图1,连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a. ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab, S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a), ∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2. 请参照上述证法,利用图2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2. 证明:连接　 .  ∵S五边形ACBED=