4.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用 1.倒序相加法推导等差数列前项和公式 知识回顾 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 2. 等差数列前项和公式 2 问题1 (1)已知等差数列则有怎样的关系? 新知探究 解: 设等差数列的公差为 所以 构成等差数列. (2)我们知道, ，则上述关系可以描述为一个怎样的结论? 解:如果是等差数列,那么, , 也成等差数列. 追问：这个结论可以推广吗?推广形式是什么？ , , ,… 如果是等差数列,则 也成等差数列. 1.等差数列“片段和”的性质 若公差为的等差数列的前项和为,则中连续的项和构成的数列, , ,…构成等差数列. 追问：此等差数列, , ,…的公差为多少？ [做一做1]在等差数列中, , ,则等于(　) D [针对训练](1)设等差数列的前项和为,若 , ,则等于(　　) D 问题2 若公差为的等差数列有项,则 为多少?为多少? 追问：若公差为的等差数列有项,则 为多少?为多少? 如何推导出来? 2.等差数列奇偶数项和的性质 若等差数列有项,则 ； 若等差数列有项,则 ， [做一做2]已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　 　) A.5 B.4 C.3 D.2 C 例1(2)等差数列共有项,所有的奇数项之和为,所有的偶数项之和为,则　　　　　;  10 解：由等差数列的前项和性质及性质可得 同理可得 等差数列中的 重要公式 D 法一：因为 法二　因为 所以 . 又因为 所以 所以 , D 13 4.等差数列前项和的函数特征 (1)数列是等差数列⇔ (为常数). 小 大 S1 (2)若,,则数列的前面若干项为负数项(或),所以将这些项相加即得的最 值; 特别地,若,,则是的最小值; 若,,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最 值. 若,,则 是的最大值. [做一做3] 已知数列的通项公式是,则取得最小值时,为　　　　　.  解:由an≤0即2n-48≤0得n≤24. 所以Sn取得最小值时,n=23或n=24. 23或24 [例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最 大值. [例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最 大值. [例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最 大值. [例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最 大值. [变式探究2] 本例中若将条件“a1=25,且S9=S17”改为“a1=26,且S9=S18”,则n取何值时Sn有最大值?并求出最大值. 求等差数列{an}的前n项和Sn的最值通常有两种思路: (2)邻项变号法: 课堂小结 1.等差数列“片段和”的性质 , , ,… 如果是等差数列,则 也成等差数列. 2.等差数列奇偶数项和的性质 若等差数列有项,则 ； 若等差数列有项,则 ； 4.等差数列前项和的函数特征 (1)数列是等差数列⇔ (为常数). (2)若,,则数列的前面若干项为负数项(或),所以将这些项相加即得的最 值; 若,,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最 值. [问题3] 设Sn,Tn分别是两个等差数列{an}和{bn}的前n项和,那么与有怎样的关系? 2.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若=,则=(　 　) A. B. C. D. 3.等差数列中与的关系 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则= . 2.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若=,则=(　 　) A. B. C. D. 解:法一　因为S9=S17,a1=25, 所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169. 所以当n=13时,Sn有最大值169. 法二　同法一,求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0, 由得 又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值169. 法三　同法一,求出公差d=-2. 因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时,Sn有最大值169. 法四　同法一,求出公差d=-2.设Sn=An2+Bn. 因为S9=S17,所以二次函数图象的对称轴为n==13