27.2.3 相似三角形的应用列举（1）讲义 2023-2024学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第27章 相似 27.2.3 相似三角形的应用列举 学习目标： 1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题. 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问题的能力. 老师对你说： 知识点一 、利用相似三角形测量高度 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点二 、利用相似三角形测量宽度 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 知识点三 、.利用相似解决有遮挡物问题 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 基础提升 教材核心知识点精练 【考点1】 利用相似三角形测量高度 【例1-1】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米． 【例1-2】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【例1-3】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 【考点2】利用相似三角形测量宽度 【例2-1】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. 【例2-2】如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已知，根据图中数据，P，Q两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（    ）    A． B． C． D． 【考点3】利用相似解决有遮挡物问题 【例3-1】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A． B． C． D．2 【例3-2】兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ） A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米 【例3-3】为测量被池塘相隔的两棵树，的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得三组数据：，，，，，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有（ ） A．0组 B．一组 C．二组 D．三组 能力强化提升训练 1 .西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出长，即可算得物高．若，，，量得，则物体的高为(    )    A． B．