22.3　实际问题与二次函数第2课时　生活中的抛物线（教案）2023-—2024学年人教版数学九年级上册

22.3　实际问题与二次函数 第2课时　生活中的抛物线　　　　 教学目标： 1.能根据实际问题构建二次函数模型,并利用二次函数的性质来解决实际问题. 2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程,进一步体验数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力. 教学重难点： 重点:用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想. 难点:根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型. 教学过程： 导入 问题:如图所示的是我国某一地区的石拱桥. 同学们,这个桥拱的外形轮廓是不是很像我们学过的抛物线?如图所示,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9 m,水面宽是4 m 时,拱顶离水面2 m.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗? 讲授新课 知识点1　利用二次函数解决桥拱、隧道型问题 怎样建立平面直角坐标系比较简单呢? 以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 从图看出,什么形式的二次函数,它的图象是这条抛物线呢? 由于顶点坐标是(0,0),因此这个二次函数的形式为y=ax2. 已知水面宽4 m时,拱顶离水面高2 m,因此点A(2,-2) 在抛物线上,由此得出-2=4a,所以a=-. 因此,y=-x2,其中|x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶离水面高度怎样变化. 由于拱桥的跨度为4.9 m,因此自变量x的取值范围是-2.45≤x≤2.45. 现在你能求出水面宽3 m时,拱顶离水面高多少米吗? 水面宽3 m时,x= ,从而y=-×()2=-=-1.125,因此拱顶离水面高1.125 m. 知识点2　利用二次函数解决运动中抛物线型问题 (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系; (2)把已知条件转化为点的坐标; (3)合理设出函数解析式; (4)利用待定系数法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 范例应用 例题　在篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为8 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3 m,他能把球投中吗? 解:如图所示,建立平面直角坐标系. 则点A的坐标是(0,),B点坐标是(4,4),C点坐标是(8,3). 因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4. 把点A(0,)代入上式,得=a(0-4)2+4, 解得a=-. 所以抛物线的解析式是y=-(x-4)2+4. 当x=8时,则y=-(8-4)2+4=≠3, 所以此球不能投中. 拓展:在平时的投篮过程中,若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? (1)跳得高一点儿; (2)向前平移一点儿. 课堂训练 1.足球被从地面上踢起,它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,则球在　4　s后落地.  2.如图所示,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(m)关于水平距离x(m)的函数解析式为y=-x2+x+,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　2　m.  3.公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O点恰在水面中心,OA=1.25 m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流落不到池外? 解:如图所示,以地面上任一条直线为x轴,OA为y轴建立平面直角坐标系. 由题意,知点B的坐标为(1,2.25). 设y=a(x-1)2+2.25,则当x=0时,y=1.25. 故a+2.25=1.25,解得a=-1. 所以y=-(x-1)2+2.25. 由y=0,得-(x-1)2+2.25=0, 得(x-1)2=2.25, 解得x1=2.5,x2=-0.5(舍去), 故水池的半径至少要2.5 m. 小结 1.构建二次函数模型解决实际问题时,应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨. 2.对具有抛物线形状的实际问题,应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系,这样能更快捷地解决问题,应注意体会. 板书 第2课时　生活中的抛物线 反思 　　本课时教学与上一课时基本相同,所不同的是教学时应注意建立恰当的平面直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线解析式,在这一过程中让学生体验探究发现的快乐,体会数学的最优化思考. 学