22.3　实际问题与二次函数第1课时　最优化问题 教案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.3　实际问题与二次函数 第1课时　最优化问题 教学目标： 1.能根据实际问题构造二次函数模型. 2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大(小)值问题. 3.通过对“矩形面积”“销售利润”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会二次函数是一类最优化问题的模型. 教学重难点： 重点:用二次函数的最大值(或最小值)来解决实际应用问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策. 教学过程： 导入 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 教师以课件形式展示教材中的图,并向学生提问: (1)图中抛物线的顶点在哪里? (2)这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点? (3)小球运动至最高点的时间是什么时间? 讲授新课 知识点1　商品销售中的优化问题 (1)建立利润与价格之间的函数关系式:“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”; (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内确定最大利润. 可以利用配方法或公式法求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 范例应用 例1　某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元? (3)若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少? 解:(1)由题意,得当40≤x≤50时, Q=60(x-30)=60x-1 800. 因为60>0,Q随x的增大而增大, 所以当x=50时,Q最大为1 200. 答:此时每月的总利润最多是1 200元. (2)当50≤x≤70时,设y与x的函数关系式为y=kx+b, 因为线段过(50,60)和(70,20), 解得 所以y=-2x+160(50≤x≤70). 所以Q=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+1 250(50≤x≤70). 因为-2<0,图象开口向下, 所以当x=55时,Q最大=1 250. 所以当售价在50~70元时,售价是55元时,每月获利最大,最大利润是1 250元. (3)因为当40≤x≤50时,Q最大=1 200<1 218, 当50≤x≤70时,Q最大为1 250>1 218, 所以售价x应在50~70元之间. 所以令-2(x-55)2+1 250=1 218, 解得x1=51,x2=59. 当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160=58(件); 当x2=59时,y2=-2x+160=-2×59+160=42(件). 答:若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件. 知识点2　几何面积中的优化问题 (1)求出函数解析式和自变量的取值范围; (2)配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值; (3)检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 范例应用 例2　用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 解:矩形的另一边长为-l=(30-l)m. 所以S=(30-l)l=-l2+30l=-(l-15)2+225. 因为-1<0,所以S有最大值, 所以当l=15时,S取得最大值. 答:当l=15 m时,场地的面积S最大. 变式1:如图所示,用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的一边长为(60-2x)m. S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x2-30x)=-2(x-15)2+450, 因为-2<0,所以S有最大值. 又因为0<60-2x≤32, 30>2x≥28, 14≤x<30, 当x=15时,S最大=450 m2,60-2x=30. 答:矩形的长为30 m,宽为15 m时,面积最大,最大面积为450 m2. 变式2:如图所示,用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解:设垂直于墙的一边长为