22.1.4　二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 教案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学目标： 1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,以便确定它的对称轴和顶点坐标. 2.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点. 教学重难点： 重点:用抛物线的对称性画二次函数y=ax2+bx+c的图象,通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式,探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换. 难点:用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标. 教学过程： 导入 问题:填一填 函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 (0,0) y轴 最大值0 y=-2x2-5 (0,-5) y轴 最大值-5 y=-2(x+2)2 (-2,0) 直线 x=-2 最大值0 y=-2(x+2)2-4 (-2,-4) 直线 x=-2 最大值 -4 y=(x-4)2+3 (4,3) 直线 x=4 最小值3 讲授新课 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论y=ax2+bx+c的图象和性质? 问题:怎样将y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式? 配方: y=x2-6x+21 =(x2-12x+42) =(x2-12x+62-62+42) =(x-6)2+3. 知识点2　将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 解:y=ax2+bx+c=a（x2+x）+c =a[x2+2·x·+（）2-（）2 ]+c =a(x+)2-a·+c =a(x+)2+. 所以抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,顶点坐标是(,). [归纳结论] 二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质: 函数 y=ax2+bx+c 开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下 对称轴 x=- 顶点坐标 (-,) 最大 (小)值 当x=-时,y最小值= 当x=-时,y最大值= 范例应用 例1　填表: 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x 　(1,1)　  直线 　x=1　  y最大值= 　1　  y=-2x2-1 　(0,-1)　  　y轴　  y最大值= 　-1　  y=9x2+6x-5 -,-6 直线 　x=-　  y最小值= 　-6　  例2　已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(D) A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 D.b≤1 课堂训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 则该二次函数图象的对称轴为(D) A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x= 2.当0≤x≤3时,二次函数y=-x2+4x+5的最大值和最小值是(C) A.8,4 B.8,5 C.9,5 D.9,8 3.李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格,根据表格上的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时,y=　1　.  x … -1 0 1 2 … y … 1 -2 -3 -2 … 4.已知抛物线y=x2+2x+c经过点(2,5). (1)求该抛物线的解析式及其顶点坐标; (2)若将该抛物线向下平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度后得到新抛物线,求新抛物线对应的函数解析式,并判断点(-1,2)是否在新抛物线上. 解:(1)把(2,5)代入y=x2+2x+c,得 5=4+4+c,解得c=-3. 所以二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 所以二次函数的顶点坐标为(-1,-4). (2)将抛物线平移后,得到新的抛物线解析式为 y=(x+3)2-6, 将x=-1代入,得y=-2. 所以点(-1,2)不在新抛物线上. 小结 1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定: (1)当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时,可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程; (2)当a,b,c比较复杂时,可直接用公式来确定: 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,顶点坐标为(-,). 2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时,应先将它化为y=a(x-h)2+k的形式后,再进行研究