4.2.1 等差数列的概念（8大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 重点：1、掌握等差数列的判定方法；2、掌握等差数列的有关性质； 难点：1、理解等差数列的概念与通项公式的意义；2、能灵活运用等差数列的性质解决问题. 一、等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差数列通项公式的推导过程 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以，，，…… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 3、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 四、等差数列的性质 1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. 2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 3、若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． 4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． 5、通项公式的推广： (n，m∈N*)． 五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。 六、等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 题型一 等差数列的概念 【例1】（2022·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考期中）下列数列不是等差数列的是（ ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 【变式1-1】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ） A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列 C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为 【变式1-2】（2023·湖北孝感·高二校联考期末）设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2023·全国·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 等差数列的通项与基本量 【例2】（2022·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知数列，则是这个数列的（ ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【变式2-1】（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知等差数列中，，，则首项与公差分别为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·辽宁大连·高二统考期末）在等差数列中，，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-3】（2023·河北·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（ ） A．