4.5 相似三角形判定定理的证明课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 1.会证明相似三角形判定定理； 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题. 学习目标 导入新课 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角分别相等的两个三角形相似. ② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ③ 三边成比例的两个三角形相似. 证明相似三角形的判定定理 一 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C′ 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B′. 求证：△ABC ∽△A'B'C′． B' A' C' B A C 证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE. ∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′， ∴. 同理，在 B′C′上截取B′F=BC，连接EF,可得, 根据定义可得：△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. D E B' A' C' B A C 证明相似三角形的判定定理 一 F 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 证明相似三角形的判定定理 一 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 求证：△A′B′C′∽△ABC. B A C B' A' C' 证明：在△A′B′C′的边A′B′上取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E. ∵DE∥B′C′, ∴ ∠A′DE=∠B′,又∵∠A′=∠A. ∴△A′DE∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' 证明相似三角形的判定定理 一 ∵A′D=AB， ∴A′E=AC. 又∵∠A′=∠A. ∴△A′DE≌△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC. 证明相似三角形的判定定理 一 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 如图，在△ABC与△A1B1C1中，已知 . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取A1D=AB. 过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E. ∵ DE∥B1C1 ，∴△A1DE∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 D E 证明相似三角形的判定定理 一 ∴ . 又 A1D=AB ， ∴ ， ∴DE=BC,A1E=AC. ∴ △A1DE≌△ABC, ∵ △A1DE∽△A1B1C1, ∴△ABC∽△A1B1C1. 相似三角形判定定理的运用 二 一、会用证明判定定理的方法解决相关问题 【例1】如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB. 【思路分析】根据∠AEC＝∠AFB＝90°，∠A是公共角，可证明△ABF与△ACE相似，得AE∶AF＝AC∶AB，易证△AEF∽△ACB. 相似三角形判定定理的运用 二 一、会用证明判定定理的方法解决相关问题 【例1】如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB. 【规范解答】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AEC＝∠AFB＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABF∽△ACE.∴. 又∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ACB. 【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由． 相似三角形判定定理的运用 二 二、会用三角形相似探索线段之间的关系 【思路分析】由图知三条线段分别位于△BFG和△EFB中，若能让它们相似即可． 【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由． 相似三角形判定定理的运用 二 二、会用三角形相似探索线段之间的关系 【规范解答】解：BF2＝FG·EF.其理由是：∵BE∥AC，∴∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠E＝∠2，∵∠GFB＝∠BFE，∴△BFG∽△EFB，∴， ∴BF2＝FG·EF. 课堂小结 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 定理2: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 边、角 1．如图，结合图形及所给条件，无相似三角形的为( ) C 随堂练习 2. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有( ) A．△AED∽△BE