22.1.2　二次函数y=ax²的图象和性质 教案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标： 1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念. 2.掌握二次函数y=ax2的性质,能确定二次函数y=ax2 的解析式. 3.通过画出简单的二次函数y=x2,y=-x2等函数的图象,探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征. 教学重难点： 重点:二次函数y=ax2的图象的画法及性质;能确定二次函数y=ax2的解析式. 难点:能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题. 教学过程： 导入 问题1:用描点法画函数图象的一般步骤是什么? 答案:①列表;②描点;③连线. 问题2:我们学过的一次函数的图象是什么图形? 答案:一次函数的图象是一条直线. 那么,二次函数的图象会是什么样的图形呢?这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象. 讲授新课 知识点1　二次函数y=ax2的图象的画法 画出二次函数y=x2的图象. 解:列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点、连线: [总结] 抛物线:二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴;对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 知识点2　二次函数y=ax2的性质 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的图象. 思考并回答:函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2 的图象相比,有什么共同点和不同点? 解:列表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 描点、连线: 不同点:抛物线的开口大小不同. 相同点:开口都向上;对称轴都是y轴; 顶点都是原点(0,0),顶点都是抛物线的最低点; 增减性相同:当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大. [归纳] 一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小. 范例应用 [例1] 画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,并思考这些抛物线有什么共同点和不同点. 解:列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … y=-x2 … -4.5 -2 - 0 - -2 -4.5 … y=-2x2 … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 描点、连线: 相同点:开口都向下;对称轴都是y轴;顶点都是原点(0,0).顶点都是抛物线的最高点;增减性相同:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小. 不同点:抛物线的开口大小不同. [归纳] 一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小. 二次函数y=ax2的性质: (1)|a|越大,抛物线的开口越小; (2)a>0,开口向上,a<0,开口向下; (3)顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴; (4)a>0,在对称轴左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大; a<0,在对称轴左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小; (5)a>0,当x=0时,y有最小值是0;a<0,当x=0时,y有最大值是0. [例2] 关于二次函数y=-x2的图象及其性质的说法错误的是(D) A.开口向下 B.当x<0时,y随x的增大而增大 C.对称轴是y轴 D.函数有最小值是0 课堂训练 1.函数y=2x2的图象的开口　向上　,对称轴是　y轴　,顶点是　原点(0,0)　;在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　.  2.函数y=-3x2的图象的开口　向下　,对称轴是　y轴　,顶点是　原点(0,0)　;在对称轴的左侧,y随x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小　.  3.如图所示,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是　k>1　.  4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: 开口方向 对称轴 顶点 y=3x2 　向上  　y轴　  　(0,0)