22.1.1　二次函数 教案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1.1　二次函数 教学目标： 1.能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般形式,在类比一次函数解析式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 教学重难点： 重点:结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的有关概念. 难点:能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系;重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程： 导入 正方体的六个面是全等的正方形(如图所示),设正方体的棱长为x,表面积为y.显然,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为　y=6x2　.  这个函数与我们学过的函数不同,其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢?这就是本章要学习的二次函数. 讲授新知 问题1:n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系? [分析] 比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n. 问题2:某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? [分析] 两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20. 函数m=n2-n,y=20x2+40x+20有什么共同点? 可以发现:1.函数解析式是整式;2.化简后自变量的最高次数是2;3.二次项系数不为0. 知识点1　二次函数的定义 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. [温馨提示] (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式; (2)a,b,c为常数,且a≠0; (3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 范例应用 [例1] 当m取何值时,函数y=(m2+m)+(m-5)x+m2是关于x的二次函数?并求出这时二次函数的解析式. 解:由题意,得 所以m=3. 当m=3时,该函数是二次函数,解析式为y=12x2-2x+9. [练习] 下列函数中,哪些是二次函数,哪些不是?若是二次函数,指出它的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=-2x+1; (4)y=1-3x2. 解:(1)y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数,它的二次项系数为1,一次项系数是0,常数项是-4. (2)y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数. (3)该函数不是二次函数. (4)该函数是二次函数,它的二次项系数为-3,一次项系数为0,常数项为1. [总结] (1)关于自变量x的二次式必须是二次整式,可以是二次单项式、二次二项式或二次三项式;(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件,若a=0,b≠0,则它是一次函数;(3)二次项和二次项系数不同,二次项指ax2,二次项系数则仅指a的值;同样,一次项与一次项系数也不同. 知识点2　二次函数的应用 1.在实际问题中建立二次函数模型时,关键要找出两个变量之间的数量关系,用类似建立一元二次方程模型的方法,借助方程思想求出二次函数的关系式. 2.二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义. 范例应用 [例2] 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件. (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式; (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元,求该产品的质量档次. 解:(1)因为第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润加2元,但一天产量减少5件, 所以第x档次,提高了(x-1)档,每件利润增加了2(x-1)元.　 所以y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)], 即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10). (2)由题意可得-10x2+180x+400=1 120, 整理,得x2-18x+72=0, 解得x1=6,x2=12(舍去). 所以该产品的质量档次为第6档. 课堂训练 1.下列函数是二次函数的是(C) A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-2 2.二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的