第3章 圆之隐圆问题和阿氏圆问题 学案 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

隐圆问题和阿氏圆问题 1、 【考点聚焦】 辅助圆（隐圆）问题： 定点+定长： 依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。 定线+定角： 依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。 三点定圆： 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。 四点共圆： 以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于点P，则： 1.对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，即：若∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°则A,B,C,D四点共圆. 2.任意一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上，即：∠EBC=∠ADC； 3.四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD或∠DAC=DBC或∠BAC=∠BDC或∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点在同一个圆上. 4.相交弦定理：若AP×PC=BP×DP，则A,B,C,D四点在同一个圆上. 5.托勒密定理：AB×CD+AD×BC=AC×BD，则A,B,C,D四点在同一个圆上. 动圆综合 1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。 2.动圆+定线：相切时为临界值。 3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。 阿波罗尼斯圆及其运用 “阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k. 阿氏圆最值的特征：① 动点在圆弧上运动（一动两定）；② 所求线段前的系数不全为1. 【解法口诀】①连②算③构④求 ①连：将系数不为1的线段的两端点与动点所在的圆心连接； ②算：算出两条线段的长及它们的比（用动线段去比定线段），观察比值是否等于待求式中线段前的系数； ③构：取点，构造以半径为公共边的母子型相似三角形； ④求：三点共线时最短。 2、 【典例分析】 辅助圆问题： 例1 已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，求BD的长。 变式 如图，在平行四边形 ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接 A'C，则A'C长度的最小值是______ 例2 如图，E,F是正方形ABCD边AD,CD上两个动点，且AE=DF，BE交AF于H，AB=2，连接DH，则线段DH的取值范围是 。 变式 在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为 。 例3 如图，ΔABC为等边三角形，AB=2，若P为ΔABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB的最小值为 。 变式1 如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD·DC= 。 变式2 如图，已知RtΔABC中，AC=5,BC=12,∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 。 例4 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 。 变式 已知，ΔABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为BC上的一点（不与D点重合），连接AE，过C点作CF⊥AE于F，连接DF. （1）若∠CAB=90°，如图1，则CF、AF、DF三者的数量关系为 。 （2）若∠CAB=60°，如图2，探究线段CF、AF、DF的数量关系为 。 （3）若∠CAB=90°，BC=，DF=2，过E点作EM⊥DF于M，直线EM与AC交于点N，则线段MN的长为 。 例5 在RtΔABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，若D运动到BC边的延长线上，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE，且AB=k·AC，AE=m，则线段AD的长为 （用含k，m的式子表示）。 变式1 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形，若AP=，则CF的长为 。 例6 如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。 例7.如图,在正方形ABCD中,O为AC、BD的交点,△DC