4.2.2 指数函数的图象和性质（第二课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2指数函数的图像和性质（第二课时） 指数函数的性质和应用（习题课） 学 习 目 标 学 科 素 养 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断； 2.能借助指数函数图象及单调性比较大小； 3.会解简单的指数方程、不等式； 4.会判断指数型函数的奇偶性。 5.会应用指数函数模型解决实际问题. 1、直观想象 2、数学运算 3、数形结合 【自学评价】知识整理、自主建构 (0,16] C B D ACD {x|x<1} 2 【布置作业】 1.课本P118习题4.2 T1、2、3、6、9、10； 2.一线课堂课时规范训练训练三十三. y轴 一、指数函数图象位置关系 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系： 1.“底大图高”： 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 . 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图. 由大变小 由大变小 2.指数函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的图象关于 对称. 单调性 二、比较大小 1.对于同底数不同指数的两个幂的大小， 利用指数函数的 来判断； 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，可以利用幂函数的 来判断，也可以利用指数函数的 的变化规律来判断； 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小， 则通过 来判断. 单调性 图象 中间值 三、解指数方程、不等式 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解； (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式， 再借助y＝ax的 求解； (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 单调性 单调性 四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性； 当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 . 相反 相同 相同 研习探究【研】 题型一 指数函数的定义域、值域、最值问题 例1、（1）求下列函数的定义域与值域：①；②y＝；③y＝9x＋2×3x－1. （2）函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解：(1)①要使函数有意义，则x－1≠0， 所以x≠1. 所以函数的定义域为. 因为x≠1，≠0，所以≠1. 所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}． ②要使函数有意义，则2x－1≥0，所以x≥. 所以函数的定义域为. 因为2x－1≥0，所以≥0，所以≥1. 所以函数的值域为{y|y≥1}． 研习探究【研】 题型一 指数函数的定义域、值域、最值问题 例1、（1）求下列函数的定义域与值域：①；②y＝；③y＝9x＋2×3x－1. （2）函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解：③函数y＝9x＋2×3x－1的定义域为R. 令t＝3x，则t>0， 所以y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为直线t＝－1. 因为t>0，所以函数y＝(t＋1)2－2单调递增， 所以y＝(t＋1)2－2>1－2＝－1. 所以函数y＝9x＋2×3x－1的值域为{y|y>－1}． (2)若a>1，则函数f(x)＝ax在[1，2]上单调递增， 所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)； 若0<a<1，则函数f(x)＝ax在[1，2]上单调递减， 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)． 综上，a的值是或. 【方法总结】 1．指数型函数定义域和值域的两种求法 (1)分类讨论法：底数为字母时要注意分类讨论． (2)图象法：求值域与定义域时能画图则画图，通过图象上点的横、纵坐标看函数的定义域与值域． 2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，令t＝f(x)且t＝f(x)的定义域与y＝af(x)的定义域相同；②求t＝f(x)的值域M；③利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 【变式训练】 1．函数y＝的值域为________． 解析：定义域为R.因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， 所以≤＝16. 又>0， 所以函数y＝的值域为(0，16]．