4.2 指数函数（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4．2　指数函数 第1课时　指数函数的概念与图象 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图1 和图2）． 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 图2 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． B地景区 人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1244 探究 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长． 显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的1.11x倍． 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y=1.11x (x∈[0,+∞)). 这是一个函数，其中指数x是自变量 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为(１－ p )1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为(１－ p )2； 死亡3年后，生物体内碳14含量为(１－ p )3； …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(１－ p )5730 ． 根据已知条件(１－ p )5730 ＝ ，从而１－ p = ， 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y， 那么y =(１－ p )x ，即 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以 的衰减率衰减． 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 学习新知 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . (1)定义域必须是实数集R； (2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数； (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1. 方法总结 (2)(5)(9) 指数函数的图象 首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．先从简单的函数y＝2x开始： 请同学们完成x，y的对应值表， 并用描点法画出函数y＝2x的图象. 画出函数y＝()x的图象，并与函数y＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？ 选取底数a的若干值画图，你有什么发现？ 探究： 发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型． 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 几何画板演示 图 象 a>1 0<a<1 性 质 (