4.1 指数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4 .1 指 数 小试牛刀 1.当x<0时，x＋＋＝________． 答案：1 2.根式化为分数指数幂为________． 答案： 3.计算(π－3)0＋3－1×的结果为________ 答案： 探究1：根式 探究点1. 由初中所学知识及示例完成下面填空 类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 　 ； 25=32，则2叫做32的 . 4次方根 5次方根 示例：① (±2)2＝4，则称±2为4的　　　　； ② 23=8，则称2为8的　 　； 平方根 立方根 归纳总结：n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡. 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号 表示. 例如 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ， 例如 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0,记作 根指数 根式 被开方数 式子 叫做根式. 根据n次方根的意义，可得 例如 探究 表示a n的n次方根，等式 = a 一定成立吗？如果不成立，那么 等于什么？ =5 = -9 = 5 = 5 = a-b = b-a 得出什么结论？ 结论 a a 例2 求下列各式的值: （1） ； （2） ； （3） ； （4） 解:（1） （2） （3） （4） 注意符号 想一想 可以这样算吗？ 正确吗？ 探究 探究2：分数指数幂 规定：正分数指数幂的意义 于是，在条件 且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 探究 （a>0, m、n∈N*,n>1） 结果 想一想 注意 0的正分数指数幂是0， 0的负分数指数幂没有意义。 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： 例3 求值： 解： 变式训练：把下列的分数指数式化为根式，把根式化成分数指数式. ; ; ; . 例4 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0): 解题关键：将根式转化为有理数指数幂，根据有理数指数幂的运算法则解决. 解析： 分清层次 由里向外 例6.计算下列各式（式中字母都是正数）： 分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的意义求解. 解： 熟记运算性质 4.1.2无理指数幂及其运算性质性质 探究点3 知道了有理数指数幂的意义，那么无理数指数幂我们该如何理解呢？ 观察表格： 是否表示一个确定的实数？ 探究3：无理数指数幂 的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 699 729 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … 的过剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 由上表发现： 的不足近似值从小于 方向逼近 时， 的近似值从小于 的方向逼近 . 同理，当 的过剩近似值从大于 的方向逼近时， 的近似值从大于 的方向逼近 . 常数 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 幂指数的范围又扩大到了实数 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数，可以由有理数指数幂无限逼近而得到.