4.2 指数函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数 x y (0,1) y = 1 y = a x (a＞ 1) 0 x y y = 1 y =a x (0＜a ＜1) (0,1) 0 新课引入 材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么? 分裂 次数 第一次 第二次 第三次 第x次 …... 细胞个数 新课引入 材料2:当生物死后,它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量y与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 思考： 1.这两个解析式是否构成函数？ 2.它们有什么共同特征？ 共同特征：两个解析式都具有 的形式. a具有怎样的范围呢？ 新课探究 当a>0时, 当a=1时, 当a=0时,若x>0 则 若x≤0 则 当a<0时， y=ax 中a的范围： ，无研究价值 ，无研究价值 ax有意义 为了便于研究，规定：a>0 且a≠1 1.指数函数的定义： 一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 指数位置是自变量x， 系数为1 y＝1 · ax 底数a是常数（a>0,且a≠1） 练习：下列函数中，那些是指数函数？ . (1) (5) (6) (8) (1) y=4x (2) y=x4 (3) y=-4x (4) y=(-4)x (5) y=πx (6) y=42x (7) y=xx (8) y=(2a-1)x (a>1/2且a≠1) 例题讲解 例 已知指数函数 f(x)=ax (a>0,且a≠1）的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值. 利用待定系数法求指数函数的解析式只需一个条件，确定a即可. 研究函数的一般思路： 一般方法是： 函数的 图象 函数的 性质 特殊的 函数 函数的 定义 用性质 解问题 如何研究指数函数 先从特殊的、具体的函数入手 探究：用描点法作出指数函数 与 的图象． O 1 1 -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 观察下面指数函数的图象的位置、公共点和变化趋势，你有哪些发现？ 0 1 x y 4 = x y ÷ ø ö ç è æ = 4 1 （1）图象与x轴无限接近, 函数的定义域为 R . （2）图象都在 x 轴上方,函数的值域是(0,+ ∞) . （4）当 a >1 时, 在 (-∞,+ ∞)上 是增函数; 当 0<a<1 时,在 (-∞,+ ∞)上 是减函数 （5）当 a >1 时，若 x > 0 , 则 y >1 若 x < 0 , 则 0<y<1 当 0<a<1时, 若 x > 0 , 则 0<y<1 若 x < 0 , 则 y >1 （3）图象都经过 点(0 ,1 ), 即 底互为倒数的两个函数图象关于y轴对称 指数函数的图象和性质 函数 y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) 图 象 定义域 R 值 域 性质 （0，1 ） 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 定 点 没有奇偶性 没有最值 【活动6——连连看 】请把左边的性质与右边它能解决的相应习题用直线连接. 理解应用 同底数幂比较大小：构造指数函数，利用函数单调性比较 化为同底 例 利用指数函数的性质，比较各题中数值的大小. 底数指数都不同的指数幂比较大小：利用函数图像或中间变量进行比较 15 如图，指数函数:①y=ax ②y=bx ③y=cx ④y=dx的图象,则a,b,c,d的大小关系是 x y ② ④ ③ ① O 达标测试 1.本节课学习的主要内容有___________________ 2.本节课涉及的主要数学思想方法有____________ 课堂小结 指数函数的图象、性质、简单应用 数形结合、分类讨论、从特殊到一般 例如图，某城市人口呈指数增长. （1） 根据图像，估计该城市人口每翻