3.2.2 奇偶性（第二课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性（2）（第26期） 【学习目标】 1、理解函数的奇偶性及其几何意义； 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3、学会判断函数的奇偶性． 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 知识梳理 y轴 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 原点 2．奇偶函数的特点 （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于x轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于x轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数： 奇函数： （5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 （6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 例1 题型一判断函数奇偶性 解题方法（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：） 1.定义法 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2） 确定f(－x)与f(x)的关系； （3）作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 2.图像法 题型二 利用函数的奇偶性求解析式 例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1, (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 解:(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2 (2)当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 解题方法（求函数解析式的注意事项） 1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x); 若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 题型三 利用函数的奇偶性求参数 解题方法（利用奇偶性求参数） 1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参； 2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参. [跟踪训练三] 1. 题型四　利用函数奇偶性与单调性比较大小 [例4]　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 解析：B　∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(－1)<f(－0.5)<f(0)． 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． [跟踪训练] 1