数列求和的方法 讲义-2024届高三数学二轮专题

数列求和的方法 数列求和是数列专题的重要内容，无论是大大小小的模拟考试还是高考，都是常考、热考题型，一般在小题部分以有限次求和考察，在大题中一般是求前n项和，一般在大题的第二小题考，下面介绍常见的一些数列求和的方法. 1、 等差数列、等比数列求和及常见数列求和 对于题目中明确的等差等比数列，我们可以直接运用课本的等差等比数列求和公式进行求和.对于一些常见的熟悉的数列，我们可以采用记忆的方法把它们记住. （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3） （4） （5） 例1、求． 解：原式． 由等差数列求和公式，得原式． 例2、已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得（利用常用公式） ＝＝＝1－ 2、 错位相减法 对于一类数列，其中为等差数列，为等比数列，则要求的前n项和时一般采用错位相减法. 解题步骤： ①把数列分解为两个数列积的形式，找到等差数列和等比数列； ②把前n项和表示出来； ③用等比数列的公比乘以前n项和构造错位； ④两个等式做减法，得到等比数列（可能第一第二项不与后面形成等比数列），利用等比数列求和公式最终求的结果. 例3、求数列前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设① ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 例4、，求该数列的前n项和. 解： 2 则有：2 2 2 所以 注：本题中的2无法与后面构成等比数列，需要单独提出来. 3、 裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）一阶型： ①； ； ③，推广：； ④； ⑤,推广：； ⑥； ⑦； （2）指数型： ①； ②； ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ (3)阶乘类： ① ② （4）对数类： ① （5）三角类： ① 例5、求数列的前n项和. 解：设 则 ＝ ＝ 例6、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. 解：∵ ∴ ∴ 数列{bn}的前n项和 ＝ ＝ 例7、求证： 解：设 ∵ ∴ ＝ ＝＝＝ ∴原等式成立 4、 倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 等差数列求和公式推导： ① 把项的次序反过来，则： ② ①+②得： 例8、求证： 证明： 设 ① 把①式右边倒转过来得 又由可得 ② ①+②得 ∴ 例9、求的值 解：设① 将①式右边反序得 ② 又因为 ①+②得＝89 ∴S＝44.5 例10、f(x)=，若f()(a>0，b>0)，则最小值为： 解：f(x)f(x) =2 令S= f() 则2 S=2 所以S= 则 所以 5、 分组求和法 所谓分组求和，就是把一个数列分为性质不同的几部分，分别求出每个部分的和，最后全部加上来，便是该数列的前n项和(实则这在高等数学中，各个部分是这个数列的不同子列).主要类型有奇偶求和问题、绝对值问题. 例11、求数列1，，，……，+……+的和. 解：∵ ∴ 例12(奇偶数列).求. 解：当n为奇数时， = 当n为偶数时， 例13(绝对值数列).若数列{}为的等差数列，记，求. 解： 令 所以当n时， 当n时， 当n时， 学科网（北京）股份有限公司 $$