1.4第二课时充要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2充要条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 互为充要 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 √ √ √ √ B √ × × √ 充分不必要条件 充要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 作业题： (3) 在△ABC中，若A>B，则BC>AC； 充要条件 充分条件 必要条件 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充分、必要条件与集合的关系 A A A D A a<-1 知识清单 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 eq \o(⇒,/) 概括地说，如果p⇔q，那么p与q的 条件． (2)若p⇒q，但qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的 条件． (3)若q⇒p，但peq \o(⇒,/)q，则称p是q的 条件． (4)若peq \o(⇒,/)q，且qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的 ________条件． 问题：命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题，给出充要条件的概念： ①如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为 条件. ②如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果⇔，那么与互为 条件. 小试牛刀： 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当是的充要条件时，也可说成成立当且仅当成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若和有一个成立，则一定不是的充要条件．(　　) (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　) 2．“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【自学评价】 一、知识整理、自主建构 阅读课本P20~P22，阅读完课本后尝试回答下列问题： 1. 什么是逆命题？ 2. 什么是充要条件？ 3. 证明充要条件的一般步骤是什么？ 研习探究【研】 【学习过程】 二、生成性问题和预设性问题。 思考并回答下面的问题：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则。 （4）若是空集，则A与B均是空集。 例1下列各题中，哪些是的充要条件？ （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：，q：，； （4）：是一元二次方程的一个根，：（）. 题型一 充要条件的判定 解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，所以不是的充要条件。 （2）因为“若，则”是相似三角形的性质定理，“若，则”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即，所以是的充要条件。 （3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 ，所以不是的充要条件。 （4）因为“若，则”与“若，则”均为真命题，即， 所以是的充要条件。 探究提高 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 解：(1)当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又是正数，但不是自然数，故qp．故p是q的既不充分也不必要条件． 题型二 充要条件的证明 点拨：充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 例2已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件. 证明：设p：，q：直线l与相切