5.2.1实际问题的函数刻画 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

5.2.1 实际问题的函数刻画 新课导入 2 典例剖析 例1 某公司设计了一种新型的几何模板.经测算每件产品的直接成本是130元,市场的合适售价是 190元.另外,还投人了15 万元用于研发.显然,这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品,另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时,怎样计算总收益呢?(销售仓储及维护等环节成本忽略不计) 3 典例剖析 (1)首先看这个问题涉及的几个因素: ①生产总成本(记作 C元)与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系； ②销售总收(记作 R元)与销售量及销售单价有关系； ③总收益(记作 L元)与生产总成本及销售总收有关系. 其中,销售单价、单件产品的直接成本和研发费用都是定量;当产品畅销时，销售量等于产量,产量是变量,可以设为x件. 解析 4 典例剖析 (2)再来看上述各因素之间满足的关系: ①生产总成本C与产量x的关系为C=150 000+130x; ②销售总收入R与产量的关系为R=190x; ③总收益L与产量x的关系为L=R-C=60x-150 000(x≥0). L关于x的函数图象如图 5-6. 解析 5 典例剖析 从图中清晰可见:产量 2 500 件是关键点,若x＜2 500,则要亏损;若x=2 500,则总收益为0;若x>2 500,则可盈利. 解析 6 典例剖析 7 典例剖析 8 典例剖析 （1）观察表5-2,设脚长(新鞋码)、鞋号(旧鞋码)分别为x,y,将每一对数x,y对应的数对(x,y)用平面直角坐系的点来表示(如图5-7). 解析 9 脚长/mm 鞋号/号 220 225 230 235 240 245 250 255 260 34 35 36 37 38 39 40 41 42 可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+b.利用表中任意两组数， 得k=0.2,b=－10. 所以y=0.2x－10. 这就是鞋号关于脚长的函数模型. 典例剖析 解析 10 (2)当 y=30时,x=200,即能穿 30 号鞋的女童的脚长不超过200 mm. (3)当x=262时,y=42.4,即脚长为 262 mm 的女篮球运动员应穿 43 号的鞋. 典例剖析 解析 11 例3 现有一把椅子,四条腿一样长且四脚连线成正方形,需放在起伏不平但光滑的地面上,问能否将这把椅子四脚同时落地放稳? 如图5-8,记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD,对角线的交点为 O;以点O为旋转中心,初始位置的AC转过角时,记A,C两点与地面距离之和为f (),B,D两点与地面距离之和为 g任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触,所以总有 f()·g()=0.记 F()=f()-g(),显然函数 F()的图象是不间断的曲线. 典例剖析 解析 12 对于初始位置,不妨设 f(0°)=0,g(0°) >0，那么 F(0°)=-g(0°)≤0,椅子旋转 90°，点D转到点A, g(90°)=f(0°)=0,f(90°)=g(0)≥0,那么F(90°)=f(90°) ≥ 0. 于是,根据函数零点存在定理,可知在区间[0°,90°]上存在a,使得 F(a)=0即f(a)=g(a)=0,所以这把椅子四脚能够同时落地放稳. 典例剖析 解析 13 例4 加油站的汽油都存储在地下油槽中,由于比较容易测量槽中油料的高度,因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量.现有一圆柱油槽,横卧地下,其母线呈水平状态,纵截面是圆(如图 5-9),截面圆半径是120cm，圆柱的长是400 cm.从资料可查出圆的形面积与圆面积比例系数表(如表 5-3),它给出了形面积占形所在圆面积的比值 C(k). 其中 典例剖析 14 为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量,请编制一份油料的液面高度 h(单位：cm)与油料量 V(单位：L)的对照表该表的油料液面高度取值从0开始，最大为 120 cm,间隔12 cm.( π取 3.14,油料量精确到 1 L) 典例剖析 15 如图5-9,油槽截面的油料液面线为AB,油料液面高度时的油料的面为S(h)依题意知 典例剖析 解析 16 典例剖析 解析 V(h)=400S(h). 这里r=120 cm,于是可得到油料的液面高度h 与油料量V的对照表(如表5-4). 17 实际问题的数学刻画 （1）认真读题，慎密审题. （2）引进数学符号，建立数学模型. （3）会用数学结果诠释实际问题，用数学的