5.2.2 同角三角函数的基本关系（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.2.2 同角三角函数的基本关系 重点：同角三角函数关系式的推导及应用． 难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明。 一、同角三角函数的基本关系 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 二、三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 三、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 四、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型一 sina、cosa、tana知一求二 【例1】（2023·甘肃定西·高二统考开学考试）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·四川宜宾·高一校考期中）已知 ，其中，的值为（ ） A．－ B．－ C． D． 【变式1-2】（2023下·四川宜宾·高一统考期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 正、余弦齐次式的应用 【例2】（2023·广西·高二广西大学附属中学校考开学考试）已知，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（2023·广东·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·辽宁·高一大连八中校考阶段练习）已知，则 . 【变式2-3】（2022下·高一课时练习）已知，求： （1）； （2）. 题型三 sina±cosa、sinacosa关系应用 【例3】（2023·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式3-2】（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）（多选）已知，则下列选项正确的是( ) A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的方程的两个根（） （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 题型四 利用同角关系化简求值 【例4】（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·全国·高一课时练习）已知 ，则的值为 ． 【变式4-2】（2023·全国·高一课时